发动机冗余对提高可靠性的作用的简略分析

这几天因为猎鹰-9即将发射，顺便讨论到了发动机冗余对火箭总体可靠性的影响，这里做一个简化情况下的概率分析。
这里考虑的是起飞级的简单数学模型，只考虑发动机的影响，忽略其他因素。
在这里，把发动机可能发生的故障分为两类。一类是致命性的，一旦发生就是爆炸或导致其他发动机/控制系统失效/推力不足等等，总之是全箭失败，故障概率为a。另一类是非致命的，可以通过降低推力/关机等处理把故障隔离在单台发动机上，不会影响其他发动机工作，推力不足可以通过调整其他发动机推力或燃烧时间来弥补，这种故障概率为b。整个发动机的可靠性为（1-a）（1-b）。
对现代火箭的地面发动机来说，可靠率都是相当高的（比如SSME还从未在实际发射中出现过故障），a、b都是小值。
设定7台发动机已经足够推动全箭完成正常发射，取台数n=7。考虑到飞行中发生故障关机时候可能需要关闭对侧发动机以保持推力对称，冗余情况下n=9。

那么，无冗余情况下，全箭正常工作的概率为
P（n） = （1-a）^n * （1-b）^n。
有2台冗余发动机的情况下，全箭正常工作的概率（所有发动机都正常/仅1台不正常）为
P（n+2） = （1-a）^（n+2） * （1-b）^（n+1） * [1+b*（n+1）]。
两个概率的比值为
P（n+2）/P（n） = （1-a）^2 * （1-b） * [1+b*（n+1）]。
如果P（n+2）/P（n）>1，则可以认为冗余提高了可靠性。可靠性的提高来自于冗余因子1+b*（n+1）。

如果认为发动机不会出现致命故障，即a=0，那么只要满足b < n/(n+1)，就可以提高可靠性。对现代发动机，这个要求是很容易满足的。类似的，致命故障率很低的情况下，冗余度可以带来可靠性的提高。
在a相对于b不能忽略的情况下，如果认为a、b都是很小的值，简化后可知，如果a/b < n/2，也能提高可靠率。从现代发动机故障情况的分析看，这个条件应该也能满足。大部分故障都来自于推进剂输送系统，不致于引发致命后果。

取n=7，当a=b=0.01时（实际上现代发动机可靠性不会这么差）
P（7） = 86.9%， P（9） = 91.1%。
a=0.001，b=0.01时，
P（7） = 92.6%， P（9） = 98.8%。
a=b=0.001时，
P（7） = 98.6%， P（9） = 99.1%。

简单结论如下：
1。对现代火箭发动机来说，冗余数量的设计可以增大全箭可靠性。
2。致命故障率越低，冗余设计的收益越大。
3。发动机可靠性提高时，冗余设计的相对收益减小。
考虑到有冗余情况下，控制系统更加复杂导致的可靠性下降，冗余设计的收益还要打个折扣。另外，增加2台发动机，必然要增加成本。

另外，有可靠的大发动机的话，很多情况下还是大发动机在总体可靠性上更合算。比如说a=b=0.001的情况下，P（2） = 99.6%。但是在某些情况下，比如a=0.001，b=0.01时，P（2） = 97.8% < P（9）。这大概是冗余设计最有收益的时候，而且还要考虑到大发动机的难度和成本都很高。

尽可能减少致命故障率的情况下，多发动机冗余设计是个值得尝试的方向。但是燃料共享、控制系统、箭体制造上会有其他的难度提高。这几天因为猎鹰-9即将发射，顺便讨论到了发动机冗余对火箭总体可靠性的影响，这里做一个简化情况下的概率分析。
这里考虑的是起飞级的简单数学模型，只考虑发动机的影响，忽略其他因素。
在这里，把发动机可能发生的故障分为两类。一类是致命性的，一旦发生就是爆炸或导致其他发动机/控制系统失效/推力不足等等，总之是全箭失败，故障概率为a。另一类是非致命的，可以通过降低推力/关机等处理把故障隔离在单台发动机上，不会影响其他发动机工作，推力不足可以通过调整其他发动机推力或燃烧时间来弥补，这种故障概率为b。整个发动机的可靠性为（1-a）（1-b）。
对现代火箭的地面发动机来说，可靠率都是相当高的（比如SSME还从未在实际发射中出现过故障），a、b都是小值。
设定7台发动机已经足够推动全箭完成正常发射，取台数n=7。考虑到飞行中发生故障关机时候可能需要关闭对侧发动机以保持推力对称，冗余情况下n=9。

那么，无冗余情况下，全箭正常工作的概率为
P（n） = （1-a）^n * （1-b）^n。
有2台冗余发动机的情况下，全箭正常工作的概率（所有发动机都正常/仅1台不正常）为
P（n+2） = （1-a）^（n+2） * （1-b）^（n+1） * [1+b*（n+1）]。
两个概率的比值为
P（n+2）/P（n） = （1-a）^2 * （1-b） * [1+b*（n+1）]。
如果P（n+2）/P（n）>1，则可以认为冗余提高了可靠性。可靠性的提高来自于冗余因子1+b*（n+1）。

如果认为发动机不会出现致命故障，即a=0，那么只要满足b < n/(n+1)，就可以提高可靠性。对现代发动机，这个要求是很容易满足的。类似的，致命故障率很低的情况下，冗余度可以带来可靠性的提高。
在a相对于b不能忽略的情况下，如果认为a、b都是很小的值，简化后可知，如果a/b < n/2，也能提高可靠率。从现代发动机故障情况的分析看，这个条件应该也能满足。大部分故障都来自于推进剂输送系统，不致于引发致命后果。

取n=7，当a=b=0.01时（实际上现代发动机可靠性不会这么差）
P（7） = 86.9%， P（9） = 91.1%。
a=0.001，b=0.01时，
P（7） = 92.6%， P（9） = 98.8%。
a=b=0.001时，
P（7） = 98.6%， P（9） = 99.1%。

简单结论如下：
1。对现代火箭发动机来说，冗余数量的设计可以增大全箭可靠性。
2。致命故障率越低，冗余设计的收益越大。
3。发动机可靠性提高时，冗余设计的相对收益减小。
考虑到有冗余情况下，控制系统更加复杂导致的可靠性下降，冗余设计的收益还要打个折扣。另外，增加2台发动机，必然要增加成本。

另外，有可靠的大发动机的话，很多情况下还是大发动机在总体可靠性上更合算。比如说a=b=0.001的情况下，P（2） = 99.6%。但是在某些情况下，比如a=0.001，b=0.01时，P（2） = 97.8% < P（9）。这大概是冗余设计最有收益的时候，而且还要考虑到大发动机的难度和成本都很高。

尽可能减少致命故障率的情况下，多发动机冗余设计是个值得尝试的方向。但是燃料共享、控制系统、箭体制造上会有其他的难度提高。