超级军网素数不再孤单——孪生素数和一个执着的数学家张益唐的传 ...
来源：百度文库 编辑：超级军网 时间：2024/04/27 11:43:38
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致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标
题，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益
唐的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的
资料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读
本文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造
的。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的
乘积。自古埃及（约公元前3000年）起，人类就已经对素数着迷。如今，大素数在现代
密码学中起着重要作用。
两千多年前，欧几里得证明存在无穷多的素数，但是人们观察到素数出现的频率越来越
小。著名的孪生素数猜想断言存在最极端的例外，也就是说，存在无穷多的间隔为2的
素数对。在这个古老问题上首次取得突破性进展的是中国数学家张益唐，他证明了存在
无穷多个间隔小于7000万的素数对。
素数
素数的探寻之路艰辛漫长却兴味盎然，张益唐的传奇故事感人至深又鼓舞人心。从某种
意义上来说，素数的历史是数学史的精致缩影，很多重要的数学家都被其吸引。
在欧几里得证明素数有无穷多以后，关于素数的文字记载陷入停滞，直到17世纪，费马
指出所有可以写成$2^{2^n}+1$形式的数（$n$为自然数）都是素数。费马并没有给出证
明，但是他验证了$n\leq4$时的情形。费马的工作激发了欧拉和其他很多学者的兴趣。
例如，欧拉发现，下一个费马数$2^{2^5}+1$不是素数。这表明只在少量实验之上断言
一般情形的风险。欧拉研究了素数的很多不同方面，例如，他和哥德巴赫在1742年的通
信促使哥德巴赫猜想成为数论领域的主要问题之一。在他的回复中，欧拉写道：“每个
偶数都是两个素数之和。我认为这是一个完全正确的定理，虽然我还无法给出证明。”
关于素数的分布也是一个自然而且重要的问题，有很多学者研究过这个问题。18世纪
末，通过详细的计算，勒让德和高斯独立地猜测素数定理：当$x$趋于无穷大时，
$\pi(x)$和$x/\ln x$的比值趋向于$1$。高斯从未发表过他的猜想（虽然在哥廷根图书
馆中一封日期为1849年的高斯的长信明确记录了他的这一发现），而勒让德发表了他的
研究成果。高斯的一位年轻同事，狄利克雷发现了素数定理的一个等价公式。1850年，
切比雪夫证明了素数定理的一个弱形式--计数函数$\pi(x)$的增长阶满足素数定理的预
测。作为推论，他证明对任意整数$n\geq2$,$n$和$2n$之间至少存在一个素数。
这些图片是高斯1849年写给一个以前的学生的关于素数定理的信件，现保存于哥廷根大
学图书馆。（由John Coates教授提供）
虽然之前zeta函数在欧拉和切比雪夫的论文中被应用于素数研究，黎曼是真正将zeta函
数作为复函数引入并建立了素数分布和黎曼zeta函数零点位置的密切联系。数论和复分
析的交融彻底改变了数论。而黎曼关于黎曼zeta函数零点的假设现在依然还是一个公开
问题，并且可能是数学上最著名的问题。
在1859年的一篇论文中，黎曼勾勒出一个通过黎曼zeta函数证明素数定理的纲领。受此
启发，阿达玛和普森（de la Vall\'ee Poussin）在1896年分别独立完成素数定理的证
明。
素数拥有一种非凡的特质：他们同时具备规则和无序（或随机）的行为。比如，素数定
理表明他的总体增长符合一个简单函数关系，但是他们之间的间隔却异常复杂和随机
（或混乱）。素数定理的一个直接推论是素数之间的平均间隔趋于无穷大（或者说素数
在整数中的密度趋向于零）。理解这些间隔的行为是一个自然而有趣的问题。（在某种
意义上，这也反映出理解素数计数函数$\pi(x)$渐近展开的剩余项是很困难的问题。如
黎曼所指出的，这与黎曼zeta函数的零点有关。）
素数的间隔
关于素数间隔研究的历史？1849年，波利尼亚克（Alphonse de Polignac, 1817—
1890）猜测任意偶数都是无穷多个相邻素数对的间隔。这个猜想对应于2的特殊情形，
就是存在无穷多孪生素数。格莱舍（James W. L. Glaisher, 1848—1928）列举了
$10^5$以内的所有孪生素数，并得出结论“毫无疑问孪生素数有无穷多，如何证明之是
很有意思但却并不容易的问题。”格莱舍曾获得剑桥大学1887年数学学位考试第二名
（Second Wrangler），曾担任担任皇家天文学会主席，还是著名哲学家维特根斯坦
（Ludwig Wittgenstein, 1889—1951）的老师。
这是孪生素数猜想可查的最初起源。由于其表述简单自然，我们有理由怀疑这个问题可
能被更早的学者，甚至是古希腊的数学家思考过。但是根据数学史学家，特别是研究欧
拉工作的学者的观点，欧拉的工作中没有讨论过孪生素数。既然欧拉以博学高产闻名于
世，我们几乎可以认定波利尼亚克是最早提出孪生素数问题的数学家。
许多数学家都研究过这个表述极为简洁的孪生素数猜想。虽然间隔2是数学家们所期望
的，但是任何比来自素数定理所蕴含的间隔更小的估计都很有价值。任何关于这些间隔
的描述或分布规律都是重要而有趣的1。
关于素数的间隔，我们已经得到许多部分的和带额外条件限制的结果，以及许多列举孪
生素数对的数值工作。其贡献者包括Hardy, Littlewood, Siegel, Selberg,
Rankin, Vinogradov,
华罗庚, Erd\"os, Bombieri, Brun, Davenport, Rademacher, R\'enyi, 王元, 陈
景润, 潘承洞, Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown, Huxley, Maier, Granville,
Soundararajan等著名数学家。事实上，我们很难说出过去100年中有哪个解析数论学家
没有直接或间接的研究过孪生素数猜想。当然还有许多业余数学家的不懈努力。
一个重要和鼓舞人心的结果在2009年被Goldston, Pintz和Yildirim证明。从某种意义
上说，他们的结果是首破坚冰之作。他们证明虽然素数的间隔在平均意义上趋于无穷
大，但实际却可以非常小。这被认为是这个问题80年来最杰出的工作 [2， p. 1]。假
设关于算术级数素数分布的Elliott-Halberstam猜想成立，他们可以证明存在无穷多间
隔小于16的素数对。
在 [1， p. 822]中，他们还提出如下问题“是否能用我们的方法无条件的证明存在无
穷多的间隔固定的素数对？”虽然他们的结果看似距离这个问题“只有头发丝那么细”
[1， P.822]，但是困难依然巨大。
该如何应用或改进 [1， p. 822]的结论？也许这正是张益唐工作的起点。这个问题的
困难在 [1， p. 819]中有精辟的描述：“这个问题不仅困难，而且它在大多数这个领
域的数学家中背负着‘毫无解决希望’的名声，我们不知道任何不借助额外条件的方法
可以对付这个问题。”
事实上，在张益唐的工作出来之前，这个领域的几乎所有专家都认为这个问题有着不可
逾越的困难。在Soundararajan [1，p. 17]{so}看来，“首先，也即最重要的，是考虑
能否无条件的证明有界素数间隔的存在性。在目前看来，回答是否定的，但是也许这个
方法的某些变例会行得通。”
研究素数最基本或者说仅有的方法就是筛法。但是要从目前已知的众多有着微妙差别的
筛法中找出能够有效应用于某个具体问题的筛法，是一门艺术。我们需要实实在在的原
创思想来打破表面上的僵局。在这个问题上钻研了3年之后，2012年7月，张益唐在访问
科罗拉多州的朋友期间，终于捕获了关键的灵感。他解决了 [1，Question 1]中的问
题。在某种意义上，正是一贯的坚持和信念，使他在世界顶尖专家都无能为力的难题上
取得了成功。
2013年5月13日，张益唐受丘成桐教授邀请，在哈佛大学作了一个报告。在报告中，他
首次向学术界宣布了他在文章 [5]中证明的里程碑式的定理：“ 存在无穷多间隔小于7
千万的素数对。”
这标志着解析数论这个古老的学科又翻过了一个绚烂的华章，并预示着下一个新纪元的
到来。
张益唐的学术生涯
张益唐的学术生涯是典型和非典型的结合，或许就像他所热爱的素数。1978年张益唐考
入北京大学，1982年毕业时他被认为是当时最优秀的学生2。随后的1982年至1985年，
他在潘承彪指导下继续在北京大学攻读硕士学位，因此他也成为了华罗庚（1910-
1985）的门生之一3。
1991年张益唐在普渡大学获得博士学位之后4，他没能找到大学的正式教职。之后他从
事过各种各样的工作，当过会计，也在快餐店打过工。但是数学始终是他的挚爱。1999
年到2005年，他作为代课老师在新罕布什尔大学教授课程。2005年至今，张益唐在新罕
布什尔大学担任讲师。张益唐是一个非常优秀的授课教师，受到学生的高度评价。从某
种意义上说，目前为止，张益唐从来没有获得过正式的数学研究职位。正因为如此，他
能在这样一段艰苦而漫长的岁月里坚持不懈地执着钻研数学界最具挑战性难题的举动才
更令人感动和印象深刻（例如黎曼zeta函数零点分布和孪生素数猜想）。他的坚持印证
了一句中国俗语："皇天不负有心人！"
张益唐的博士论文研究著名的关于多项式映照的雅克比猜想，这个猜想至今依然未被证
明，它也因为有众多错误的证明而愈加著名。在获得博士学位之后到取得孪生素数研究
的重大突破之前的这段时间里，张益唐只在著名的《杜克数学期刊》上发表了一篇论文
《关于$\zeta'(s)$ 在临界线附近的零点》（``On the zeros of $\zeta'(s)$ near
the critical line''）。这篇论文的研究内容是黎曼zeta函数及其导数的零点以及零
点之间的距离。1985年，张益唐在中国顶尖数学杂志之一《数学学报》上发表了另一篇
关于黎曼zeta函数零点的论文。
也许有必要指出这些零点的间距和孪生素数密切相关 [3，p. 2]：“关于素数对$p$和
$p+2k$（$2k$为偶数）出现频率的精确认识对黎曼zeta函数零点坐标的空间分布有着微
妙的蕴意....另一方面来说，特异（基本不可能）零点模式在zeta类函数意味着存在无
穷多的孪生素数。”
在当今这个一切都是批量生产的文化环境下，一个人究竟应该或者能够创造出多少成
果，这个问题或许值得我们深思。这让人联想到托尔斯泰的著名短篇小说《一个人需要
多少土地》。 这篇小说里的土地读者可以自行可以替换成其他任何你想追求的东西。
文章的数量和篇幅是否是有效的衡量标准呢？或许我们应该始终牢记，时间是检验一切
的最佳标准！
也许不是每个人都熟悉黎曼猜想，但是每个学过微积分的学生一定都听说过黎曼和以他
的名字命名的积分。绝大多数数学家都会同意黎曼是历史上最伟大的数学家之一。但是
可能很少有人知道，黎曼一生只发表了5篇数学文章和4篇物理文章。（伽罗华一生中发
表的文章更少，但他并不是一个全职数学家，而且在很年轻的学生时期就去世了。）
素数并不孤独
素数的概念也是感性化的。素数是整数里的一些单独的数，但对于某些素数（或许对某
些人也一样）来说，有一个如同孪生素数那样的亲密伙伴就足够了。这种特殊的感情在
保罗·乔尔达诺的小说《素数的孤独》里有着很好的描述。我们来引用这本书里的一段
话: 素数“是多疑而孤独的数，这是马蒂亚（小说中的主人公）认为素数奇妙的原因。
有时他觉得素数是在不经意间形成数列，它们是被束缚了，就像一串项链上的珍珠。有
时他又觉得素数原本更希望能和其它普通的数一样，但是因为某些原因，它们不能成为
普通的数....有些素数甚至更加独特。数学家们称之为孪生素数：成对的素数彼此相
近，几乎相邻，但是他们之间始终为一偶数所隔，无法触及。”
张益唐使人们回想起几代中国学生心目中的英雄人物之一陈景润，以及他在著名的哥德
巴赫猜想上所取得的成果。陈景润和张益唐都是孤独而坚持不懈地钻研着数论方面的艰
深难题，他们都为祖国，尤其是中国数学界赢得了巨大的荣耀。
当然，陈景润的故事对于每个中国学生来说都耳熟能详。趣味数学书《遇见哥德巴赫猜
想》
作者多夏狄斯（Apostolos Doxiadis）用带有浪漫主义的细腻笔触描写了一个数学家钻
研哥德巴赫猜想的故事。（顺便说一句，小说中的主人公比德罗斯叔叔从获得博士学位
以后到开始转向哥德巴赫猜想研究的这段时间内只发表了一篇论文。）
本文由哈佛大学徐浩译http://ar.newsmth.net/thread-f9ab71f17c38e8.html
致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标
题，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益
唐的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的
资料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读
本文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造
的。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的
乘积。自古埃及（约公元前3000年）起，人类就已经对素数着迷。如今，大素数在现代
密码学中起着重要作用。
两千多年前，欧几里得证明存在无穷多的素数，但是人们观察到素数出现的频率越来越
小。著名的孪生素数猜想断言存在最极端的例外，也就是说，存在无穷多的间隔为2的
素数对。在这个古老问题上首次取得突破性进展的是中国数学家张益唐，他证明了存在
无穷多个间隔小于7000万的素数对。
素数
素数的探寻之路艰辛漫长却兴味盎然，张益唐的传奇故事感人至深又鼓舞人心。从某种
意义上来说，素数的历史是数学史的精致缩影，很多重要的数学家都被其吸引。
在欧几里得证明素数有无穷多以后，关于素数的文字记载陷入停滞，直到17世纪，费马
指出所有可以写成$2^{2^n}+1$形式的数（$n$为自然数）都是素数。费马并没有给出证
明，但是他验证了$n\leq4$时的情形。费马的工作激发了欧拉和其他很多学者的兴趣。
例如，欧拉发现，下一个费马数$2^{2^5}+1$不是素数。这表明只在少量实验之上断言
一般情形的风险。欧拉研究了素数的很多不同方面，例如，他和哥德巴赫在1742年的通
信促使哥德巴赫猜想成为数论领域的主要问题之一。在他的回复中，欧拉写道：“每个
偶数都是两个素数之和。我认为这是一个完全正确的定理，虽然我还无法给出证明。”
关于素数的分布也是一个自然而且重要的问题，有很多学者研究过这个问题。18世纪
末，通过详细的计算，勒让德和高斯独立地猜测素数定理：当$x$趋于无穷大时，
$\pi(x)$和$x/\ln x$的比值趋向于$1$。高斯从未发表过他的猜想（虽然在哥廷根图书
馆中一封日期为1849年的高斯的长信明确记录了他的这一发现），而勒让德发表了他的
研究成果。高斯的一位年轻同事，狄利克雷发现了素数定理的一个等价公式。1850年，
切比雪夫证明了素数定理的一个弱形式--计数函数$\pi(x)$的增长阶满足素数定理的预
测。作为推论，他证明对任意整数$n\geq2$,$n$和$2n$之间至少存在一个素数。
这些图片是高斯1849年写给一个以前的学生的关于素数定理的信件，现保存于哥廷根大
学图书馆。（由John Coates教授提供）
虽然之前zeta函数在欧拉和切比雪夫的论文中被应用于素数研究，黎曼是真正将zeta函
数作为复函数引入并建立了素数分布和黎曼zeta函数零点位置的密切联系。数论和复分
析的交融彻底改变了数论。而黎曼关于黎曼zeta函数零点的假设现在依然还是一个公开
问题，并且可能是数学上最著名的问题。
在1859年的一篇论文中，黎曼勾勒出一个通过黎曼zeta函数证明素数定理的纲领。受此
启发，阿达玛和普森（de la Vall\'ee Poussin）在1896年分别独立完成素数定理的证
明。
素数拥有一种非凡的特质：他们同时具备规则和无序（或随机）的行为。比如，素数定
理表明他的总体增长符合一个简单函数关系，但是他们之间的间隔却异常复杂和随机
（或混乱）。素数定理的一个直接推论是素数之间的平均间隔趋于无穷大（或者说素数
在整数中的密度趋向于零）。理解这些间隔的行为是一个自然而有趣的问题。（在某种
意义上，这也反映出理解素数计数函数$\pi(x)$渐近展开的剩余项是很困难的问题。如
黎曼所指出的，这与黎曼zeta函数的零点有关。）
素数的间隔
关于素数间隔研究的历史？1849年，波利尼亚克（Alphonse de Polignac, 1817—
1890）猜测任意偶数都是无穷多个相邻素数对的间隔。这个猜想对应于2的特殊情形，
就是存在无穷多孪生素数。格莱舍（James W. L. Glaisher, 1848—1928）列举了
$10^5$以内的所有孪生素数，并得出结论“毫无疑问孪生素数有无穷多，如何证明之是
很有意思但却并不容易的问题。”格莱舍曾获得剑桥大学1887年数学学位考试第二名
（Second Wrangler），曾担任担任皇家天文学会主席，还是著名哲学家维特根斯坦
（Ludwig Wittgenstein, 1889—1951）的老师。
这是孪生素数猜想可查的最初起源。由于其表述简单自然，我们有理由怀疑这个问题可
能被更早的学者，甚至是古希腊的数学家思考过。但是根据数学史学家，特别是研究欧
拉工作的学者的观点，欧拉的工作中没有讨论过孪生素数。既然欧拉以博学高产闻名于
世，我们几乎可以认定波利尼亚克是最早提出孪生素数问题的数学家。
许多数学家都研究过这个表述极为简洁的孪生素数猜想。虽然间隔2是数学家们所期望
的，但是任何比来自素数定理所蕴含的间隔更小的估计都很有价值。任何关于这些间隔
的描述或分布规律都是重要而有趣的1。
关于素数的间隔，我们已经得到许多部分的和带额外条件限制的结果，以及许多列举孪
生素数对的数值工作。其贡献者包括Hardy, Littlewood, Siegel, Selberg,
Rankin, Vinogradov,
华罗庚, Erd\"os, Bombieri, Brun, Davenport, Rademacher, R\'enyi, 王元, 陈
景润, 潘承洞, Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown, Huxley, Maier, Granville,
Soundararajan等著名数学家。事实上，我们很难说出过去100年中有哪个解析数论学家
没有直接或间接的研究过孪生素数猜想。当然还有许多业余数学家的不懈努力。
一个重要和鼓舞人心的结果在2009年被Goldston, Pintz和Yildirim证明。从某种意义
上说，他们的结果是首破坚冰之作。他们证明虽然素数的间隔在平均意义上趋于无穷
大，但实际却可以非常小。这被认为是这个问题80年来最杰出的工作 [2， p. 1]。假
设关于算术级数素数分布的Elliott-Halberstam猜想成立，他们可以证明存在无穷多间
隔小于16的素数对。
在 [1， p. 822]中，他们还提出如下问题“是否能用我们的方法无条件的证明存在无
穷多的间隔固定的素数对？”虽然他们的结果看似距离这个问题“只有头发丝那么细”
[1， P.822]，但是困难依然巨大。
该如何应用或改进 [1， p. 822]的结论？也许这正是张益唐工作的起点。这个问题的
困难在 [1， p. 819]中有精辟的描述：“这个问题不仅困难，而且它在大多数这个领
域的数学家中背负着‘毫无解决希望’的名声，我们不知道任何不借助额外条件的方法
可以对付这个问题。”
事实上，在张益唐的工作出来之前，这个领域的几乎所有专家都认为这个问题有着不可
逾越的困难。在Soundararajan [1，p. 17]{so}看来，“首先，也即最重要的，是考虑
能否无条件的证明有界素数间隔的存在性。在目前看来，回答是否定的，但是也许这个
方法的某些变例会行得通。”
研究素数最基本或者说仅有的方法就是筛法。但是要从目前已知的众多有着微妙差别的
筛法中找出能够有效应用于某个具体问题的筛法，是一门艺术。我们需要实实在在的原
创思想来打破表面上的僵局。在这个问题上钻研了3年之后，2012年7月，张益唐在访问
科罗拉多州的朋友期间，终于捕获了关键的灵感。他解决了 [1，Question 1]中的问
题。在某种意义上，正是一贯的坚持和信念，使他在世界顶尖专家都无能为力的难题上
取得了成功。
2013年5月13日，张益唐受丘成桐教授邀请，在哈佛大学作了一个报告。在报告中，他
首次向学术界宣布了他在文章 [5]中证明的里程碑式的定理：“ 存在无穷多间隔小于7
千万的素数对。”
这标志着解析数论这个古老的学科又翻过了一个绚烂的华章，并预示着下一个新纪元的
到来。
张益唐的学术生涯
张益唐的学术生涯是典型和非典型的结合，或许就像他所热爱的素数。1978年张益唐考
入北京大学，1982年毕业时他被认为是当时最优秀的学生2。随后的1982年至1985年，
他在潘承彪指导下继续在北京大学攻读硕士学位，因此他也成为了华罗庚（1910-
1985）的门生之一3。
1991年张益唐在普渡大学获得博士学位之后4，他没能找到大学的正式教职。之后他从
事过各种各样的工作，当过会计，也在快餐店打过工。但是数学始终是他的挚爱。1999
年到2005年，他作为代课老师在新罕布什尔大学教授课程。2005年至今，张益唐在新罕
布什尔大学担任讲师。张益唐是一个非常优秀的授课教师，受到学生的高度评价。从某
种意义上说，目前为止，张益唐从来没有获得过正式的数学研究职位。正因为如此，他
能在这样一段艰苦而漫长的岁月里坚持不懈地执着钻研数学界最具挑战性难题的举动才
更令人感动和印象深刻（例如黎曼zeta函数零点分布和孪生素数猜想）。他的坚持印证
了一句中国俗语："皇天不负有心人！"
张益唐的博士论文研究著名的关于多项式映照的雅克比猜想，这个猜想至今依然未被证
明，它也因为有众多错误的证明而愈加著名。在获得博士学位之后到取得孪生素数研究
的重大突破之前的这段时间里，张益唐只在著名的《杜克数学期刊》上发表了一篇论文
《关于$\zeta'(s)$ 在临界线附近的零点》（``On the zeros of $\zeta'(s)$ near
the critical line''）。这篇论文的研究内容是黎曼zeta函数及其导数的零点以及零
点之间的距离。1985年，张益唐在中国顶尖数学杂志之一《数学学报》上发表了另一篇
关于黎曼zeta函数零点的论文。
也许有必要指出这些零点的间距和孪生素数密切相关 [3，p. 2]：“关于素数对$p$和
$p+2k$（$2k$为偶数）出现频率的精确认识对黎曼zeta函数零点坐标的空间分布有着微
妙的蕴意....另一方面来说，特异（基本不可能）零点模式在zeta类函数意味着存在无
穷多的孪生素数。”
在当今这个一切都是批量生产的文化环境下，一个人究竟应该或者能够创造出多少成
果，这个问题或许值得我们深思。这让人联想到托尔斯泰的著名短篇小说《一个人需要
多少土地》。 这篇小说里的土地读者可以自行可以替换成其他任何你想追求的东西。
文章的数量和篇幅是否是有效的衡量标准呢？或许我们应该始终牢记，时间是检验一切
的最佳标准！
也许不是每个人都熟悉黎曼猜想，但是每个学过微积分的学生一定都听说过黎曼和以他
的名字命名的积分。绝大多数数学家都会同意黎曼是历史上最伟大的数学家之一。但是
可能很少有人知道，黎曼一生只发表了5篇数学文章和4篇物理文章。（伽罗华一生中发
表的文章更少，但他并不是一个全职数学家，而且在很年轻的学生时期就去世了。）
素数并不孤独
素数的概念也是感性化的。素数是整数里的一些单独的数，但对于某些素数（或许对某
些人也一样）来说，有一个如同孪生素数那样的亲密伙伴就足够了。这种特殊的感情在
保罗·乔尔达诺的小说《素数的孤独》里有着很好的描述。我们来引用这本书里的一段
话: 素数“是多疑而孤独的数，这是马蒂亚（小说中的主人公）认为素数奇妙的原因。
有时他觉得素数是在不经意间形成数列，它们是被束缚了，就像一串项链上的珍珠。有
时他又觉得素数原本更希望能和其它普通的数一样，但是因为某些原因，它们不能成为
普通的数....有些素数甚至更加独特。数学家们称之为孪生素数：成对的素数彼此相
近，几乎相邻，但是他们之间始终为一偶数所隔，无法触及。”
张益唐使人们回想起几代中国学生心目中的英雄人物之一陈景润，以及他在著名的哥德
巴赫猜想上所取得的成果。陈景润和张益唐都是孤独而坚持不懈地钻研着数论方面的艰
深难题，他们都为祖国，尤其是中国数学界赢得了巨大的荣耀。
当然，陈景润的故事对于每个中国学生来说都耳熟能详。趣味数学书《遇见哥德巴赫猜
想》
作者多夏狄斯（Apostolos Doxiadis）用带有浪漫主义的细腻笔触描写了一个数学家钻
研哥德巴赫猜想的故事。（顺便说一句，小说中的主人公比德罗斯叔叔从获得博士学位
以后到开始转向哥德巴赫猜想研究的这段时间内只发表了一篇论文。）
本文由哈佛大学徐浩译
致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标
题，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益
唐的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的
资料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读
本文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造
的。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的
乘积。自古埃及（约公元前3000年）起，人类就已经对素数着迷。如今，大素数在现代
密码学中起着重要作用。
两千多年前，欧几里得证明存在无穷多的素数，但是人们观察到素数出现的频率越来越
小。著名的孪生素数猜想断言存在最极端的例外，也就是说，存在无穷多的间隔为2的
素数对。在这个古老问题上首次取得突破性进展的是中国数学家张益唐，他证明了存在
无穷多个间隔小于7000万的素数对。
素数
素数的探寻之路艰辛漫长却兴味盎然，张益唐的传奇故事感人至深又鼓舞人心。从某种
意义上来说，素数的历史是数学史的精致缩影，很多重要的数学家都被其吸引。
在欧几里得证明素数有无穷多以后，关于素数的文字记载陷入停滞，直到17世纪，费马
指出所有可以写成$2^{2^n}+1$形式的数（$n$为自然数）都是素数。费马并没有给出证
明，但是他验证了$n\leq4$时的情形。费马的工作激发了欧拉和其他很多学者的兴趣。
例如，欧拉发现，下一个费马数$2^{2^5}+1$不是素数。这表明只在少量实验之上断言
一般情形的风险。欧拉研究了素数的很多不同方面，例如，他和哥德巴赫在1742年的通
信促使哥德巴赫猜想成为数论领域的主要问题之一。在他的回复中，欧拉写道：“每个
偶数都是两个素数之和。我认为这是一个完全正确的定理，虽然我还无法给出证明。”
关于素数的分布也是一个自然而且重要的问题，有很多学者研究过这个问题。18世纪
末，通过详细的计算，勒让德和高斯独立地猜测素数定理：当$x$趋于无穷大时，
$\pi(x)$和$x/\ln x$的比值趋向于$1$。高斯从未发表过他的猜想（虽然在哥廷根图书
馆中一封日期为1849年的高斯的长信明确记录了他的这一发现），而勒让德发表了他的
研究成果。高斯的一位年轻同事，狄利克雷发现了素数定理的一个等价公式。1850年，
切比雪夫证明了素数定理的一个弱形式--计数函数$\pi(x)$的增长阶满足素数定理的预
测。作为推论，他证明对任意整数$n\geq2$,$n$和$2n$之间至少存在一个素数。
这些图片是高斯1849年写给一个以前的学生的关于素数定理的信件，现保存于哥廷根大
学图书馆。（由John Coates教授提供）
虽然之前zeta函数在欧拉和切比雪夫的论文中被应用于素数研究，黎曼是真正将zeta函
数作为复函数引入并建立了素数分布和黎曼zeta函数零点位置的密切联系。数论和复分
析的交融彻底改变了数论。而黎曼关于黎曼zeta函数零点的假设现在依然还是一个公开
问题，并且可能是数学上最著名的问题。
在1859年的一篇论文中，黎曼勾勒出一个通过黎曼zeta函数证明素数定理的纲领。受此
启发，阿达玛和普森（de la Vall\'ee Poussin）在1896年分别独立完成素数定理的证
明。
素数拥有一种非凡的特质：他们同时具备规则和无序（或随机）的行为。比如，素数定
理表明他的总体增长符合一个简单函数关系，但是他们之间的间隔却异常复杂和随机
（或混乱）。素数定理的一个直接推论是素数之间的平均间隔趋于无穷大（或者说素数
在整数中的密度趋向于零）。理解这些间隔的行为是一个自然而有趣的问题。（在某种
意义上，这也反映出理解素数计数函数$\pi(x)$渐近展开的剩余项是很困难的问题。如
黎曼所指出的，这与黎曼zeta函数的零点有关。）
素数的间隔
关于素数间隔研究的历史？1849年，波利尼亚克（Alphonse de Polignac, 1817—
1890）猜测任意偶数都是无穷多个相邻素数对的间隔。这个猜想对应于2的特殊情形，
就是存在无穷多孪生素数。格莱舍（James W. L. Glaisher, 1848—1928）列举了
$10^5$以内的所有孪生素数，并得出结论“毫无疑问孪生素数有无穷多，如何证明之是
很有意思但却并不容易的问题。”格莱舍曾获得剑桥大学1887年数学学位考试第二名
（Second Wrangler），曾担任担任皇家天文学会主席，还是著名哲学家维特根斯坦
（Ludwig Wittgenstein, 1889—1951）的老师。
这是孪生素数猜想可查的最初起源。由于其表述简单自然，我们有理由怀疑这个问题可
能被更早的学者，甚至是古希腊的数学家思考过。但是根据数学史学家，特别是研究欧
拉工作的学者的观点，欧拉的工作中没有讨论过孪生素数。既然欧拉以博学高产闻名于
世，我们几乎可以认定波利尼亚克是最早提出孪生素数问题的数学家。
许多数学家都研究过这个表述极为简洁的孪生素数猜想。虽然间隔2是数学家们所期望
的，但是任何比来自素数定理所蕴含的间隔更小的估计都很有价值。任何关于这些间隔
的描述或分布规律都是重要而有趣的1。
关于素数的间隔，我们已经得到许多部分的和带额外条件限制的结果，以及许多列举孪
生素数对的数值工作。其贡献者包括Hardy, Littlewood, Siegel, Selberg,
Rankin, Vinogradov,
华罗庚, Erd\"os, Bombieri, Brun, Davenport, Rademacher, R\'enyi, 王元, 陈
景润, 潘承洞, Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown, Huxley, Maier, Granville,
Soundararajan等著名数学家。事实上，我们很难说出过去100年中有哪个解析数论学家
没有直接或间接的研究过孪生素数猜想。当然还有许多业余数学家的不懈努力。
一个重要和鼓舞人心的结果在2009年被Goldston, Pintz和Yildirim证明。从某种意义
上说，他们的结果是首破坚冰之作。他们证明虽然素数的间隔在平均意义上趋于无穷
大，但实际却可以非常小。这被认为是这个问题80年来最杰出的工作 [2， p. 1]。假
设关于算术级数素数分布的Elliott-Halberstam猜想成立，他们可以证明存在无穷多间
隔小于16的素数对。
在 [1， p. 822]中，他们还提出如下问题“是否能用我们的方法无条件的证明存在无
穷多的间隔固定的素数对？”虽然他们的结果看似距离这个问题“只有头发丝那么细”
[1， P.822]，但是困难依然巨大。
该如何应用或改进 [1， p. 822]的结论？也许这正是张益唐工作的起点。这个问题的
困难在 [1， p. 819]中有精辟的描述：“这个问题不仅困难，而且它在大多数这个领
域的数学家中背负着‘毫无解决希望’的名声，我们不知道任何不借助额外条件的方法
可以对付这个问题。”
事实上，在张益唐的工作出来之前，这个领域的几乎所有专家都认为这个问题有着不可
逾越的困难。在Soundararajan [1，p. 17]{so}看来，“首先，也即最重要的，是考虑
能否无条件的证明有界素数间隔的存在性。在目前看来，回答是否定的，但是也许这个
方法的某些变例会行得通。”
研究素数最基本或者说仅有的方法就是筛法。但是要从目前已知的众多有着微妙差别的
筛法中找出能够有效应用于某个具体问题的筛法，是一门艺术。我们需要实实在在的原
创思想来打破表面上的僵局。在这个问题上钻研了3年之后，2012年7月，张益唐在访问
科罗拉多州的朋友期间，终于捕获了关键的灵感。他解决了 [1，Question 1]中的问
题。在某种意义上，正是一贯的坚持和信念，使他在世界顶尖专家都无能为力的难题上
取得了成功。
2013年5月13日，张益唐受丘成桐教授邀请，在哈佛大学作了一个报告。在报告中，他
首次向学术界宣布了他在文章 [5]中证明的里程碑式的定理：“ 存在无穷多间隔小于7
千万的素数对。”
这标志着解析数论这个古老的学科又翻过了一个绚烂的华章，并预示着下一个新纪元的
到来。
张益唐的学术生涯
张益唐的学术生涯是典型和非典型的结合，或许就像他所热爱的素数。1978年张益唐考
入北京大学，1982年毕业时他被认为是当时最优秀的学生2。随后的1982年至1985年，
他在潘承彪指导下继续在北京大学攻读硕士学位，因此他也成为了华罗庚（1910-
1985）的门生之一3。
1991年张益唐在普渡大学获得博士学位之后4，他没能找到大学的正式教职。之后他从
事过各种各样的工作，当过会计，也在快餐店打过工。但是数学始终是他的挚爱。1999
年到2005年，他作为代课老师在新罕布什尔大学教授课程。2005年至今，张益唐在新罕
布什尔大学担任讲师。张益唐是一个非常优秀的授课教师，受到学生的高度评价。从某
种意义上说，目前为止，张益唐从来没有获得过正式的数学研究职位。正因为如此，他
能在这样一段艰苦而漫长的岁月里坚持不懈地执着钻研数学界最具挑战性难题的举动才
更令人感动和印象深刻（例如黎曼zeta函数零点分布和孪生素数猜想）。他的坚持印证
了一句中国俗语："皇天不负有心人！"
张益唐的博士论文研究著名的关于多项式映照的雅克比猜想，这个猜想至今依然未被证
明，它也因为有众多错误的证明而愈加著名。在获得博士学位之后到取得孪生素数研究
的重大突破之前的这段时间里，张益唐只在著名的《杜克数学期刊》上发表了一篇论文
《关于$\zeta'(s)$ 在临界线附近的零点》（``On the zeros of $\zeta'(s)$ near
the critical line''）。这篇论文的研究内容是黎曼zeta函数及其导数的零点以及零
点之间的距离。1985年，张益唐在中国顶尖数学杂志之一《数学学报》上发表了另一篇
关于黎曼zeta函数零点的论文。
也许有必要指出这些零点的间距和孪生素数密切相关 [3，p. 2]：“关于素数对$p$和
$p+2k$（$2k$为偶数）出现频率的精确认识对黎曼zeta函数零点坐标的空间分布有着微
妙的蕴意....另一方面来说，特异（基本不可能）零点模式在zeta类函数意味着存在无
穷多的孪生素数。”
在当今这个一切都是批量生产的文化环境下，一个人究竟应该或者能够创造出多少成
果，这个问题或许值得我们深思。这让人联想到托尔斯泰的著名短篇小说《一个人需要
多少土地》。 这篇小说里的土地读者可以自行可以替换成其他任何你想追求的东西。
文章的数量和篇幅是否是有效的衡量标准呢？或许我们应该始终牢记，时间是检验一切
的最佳标准！
也许不是每个人都熟悉黎曼猜想，但是每个学过微积分的学生一定都听说过黎曼和以他
的名字命名的积分。绝大多数数学家都会同意黎曼是历史上最伟大的数学家之一。但是
可能很少有人知道，黎曼一生只发表了5篇数学文章和4篇物理文章。（伽罗华一生中发
表的文章更少，但他并不是一个全职数学家，而且在很年轻的学生时期就去世了。）
素数并不孤独
素数的概念也是感性化的。素数是整数里的一些单独的数，但对于某些素数（或许对某
些人也一样）来说，有一个如同孪生素数那样的亲密伙伴就足够了。这种特殊的感情在
保罗·乔尔达诺的小说《素数的孤独》里有着很好的描述。我们来引用这本书里的一段
话: 素数“是多疑而孤独的数，这是马蒂亚（小说中的主人公）认为素数奇妙的原因。
有时他觉得素数是在不经意间形成数列，它们是被束缚了，就像一串项链上的珍珠。有
时他又觉得素数原本更希望能和其它普通的数一样，但是因为某些原因，它们不能成为
普通的数....有些素数甚至更加独特。数学家们称之为孪生素数：成对的素数彼此相
近，几乎相邻，但是他们之间始终为一偶数所隔，无法触及。”
张益唐使人们回想起几代中国学生心目中的英雄人物之一陈景润，以及他在著名的哥德
巴赫猜想上所取得的成果。陈景润和张益唐都是孤独而坚持不懈地钻研着数论方面的艰
深难题，他们都为祖国，尤其是中国数学界赢得了巨大的荣耀。
当然，陈景润的故事对于每个中国学生来说都耳熟能详。趣味数学书《遇见哥德巴赫猜
想》
作者多夏狄斯（Apostolos Doxiadis）用带有浪漫主义的细腻笔触描写了一个数学家钻
研哥德巴赫猜想的故事。（顺便说一句，小说中的主人公比德罗斯叔叔从获得博士学位
以后到开始转向哥德巴赫猜想研究的这段时间内只发表了一篇论文。）
本文由哈佛大学徐浩译http://ar.newsmth.net/thread-f9ab71f17c38e8.html
致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标
题，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益
唐的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的
资料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读
本文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造
的。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的
乘积。自古埃及（约公元前3000年）起，人类就已经对素数着迷。如今，大素数在现代
密码学中起着重要作用。
两千多年前，欧几里得证明存在无穷多的素数，但是人们观察到素数出现的频率越来越
小。著名的孪生素数猜想断言存在最极端的例外，也就是说，存在无穷多的间隔为2的
素数对。在这个古老问题上首次取得突破性进展的是中国数学家张益唐，他证明了存在
无穷多个间隔小于7000万的素数对。
素数
素数的探寻之路艰辛漫长却兴味盎然，张益唐的传奇故事感人至深又鼓舞人心。从某种
意义上来说，素数的历史是数学史的精致缩影，很多重要的数学家都被其吸引。
在欧几里得证明素数有无穷多以后，关于素数的文字记载陷入停滞，直到17世纪，费马
指出所有可以写成$2^{2^n}+1$形式的数（$n$为自然数）都是素数。费马并没有给出证
明，但是他验证了$n\leq4$时的情形。费马的工作激发了欧拉和其他很多学者的兴趣。
例如，欧拉发现，下一个费马数$2^{2^5}+1$不是素数。这表明只在少量实验之上断言
一般情形的风险。欧拉研究了素数的很多不同方面，例如，他和哥德巴赫在1742年的通
信促使哥德巴赫猜想成为数论领域的主要问题之一。在他的回复中，欧拉写道：“每个
偶数都是两个素数之和。我认为这是一个完全正确的定理，虽然我还无法给出证明。”
关于素数的分布也是一个自然而且重要的问题，有很多学者研究过这个问题。18世纪
末，通过详细的计算，勒让德和高斯独立地猜测素数定理：当$x$趋于无穷大时，
$\pi(x)$和$x/\ln x$的比值趋向于$1$。高斯从未发表过他的猜想（虽然在哥廷根图书
馆中一封日期为1849年的高斯的长信明确记录了他的这一发现），而勒让德发表了他的
研究成果。高斯的一位年轻同事，狄利克雷发现了素数定理的一个等价公式。1850年，
切比雪夫证明了素数定理的一个弱形式--计数函数$\pi(x)$的增长阶满足素数定理的预
测。作为推论，他证明对任意整数$n\geq2$,$n$和$2n$之间至少存在一个素数。
这些图片是高斯1849年写给一个以前的学生的关于素数定理的信件，现保存于哥廷根大
学图书馆。（由John Coates教授提供）
虽然之前zeta函数在欧拉和切比雪夫的论文中被应用于素数研究，黎曼是真正将zeta函
数作为复函数引入并建立了素数分布和黎曼zeta函数零点位置的密切联系。数论和复分
析的交融彻底改变了数论。而黎曼关于黎曼zeta函数零点的假设现在依然还是一个公开
问题，并且可能是数学上最著名的问题。
在1859年的一篇论文中，黎曼勾勒出一个通过黎曼zeta函数证明素数定理的纲领。受此
启发，阿达玛和普森（de la Vall\'ee Poussin）在1896年分别独立完成素数定理的证
明。
素数拥有一种非凡的特质：他们同时具备规则和无序（或随机）的行为。比如，素数定
理表明他的总体增长符合一个简单函数关系，但是他们之间的间隔却异常复杂和随机
（或混乱）。素数定理的一个直接推论是素数之间的平均间隔趋于无穷大（或者说素数
在整数中的密度趋向于零）。理解这些间隔的行为是一个自然而有趣的问题。（在某种
意义上，这也反映出理解素数计数函数$\pi(x)$渐近展开的剩余项是很困难的问题。如
黎曼所指出的，这与黎曼zeta函数的零点有关。）
素数的间隔
关于素数间隔研究的历史？1849年，波利尼亚克（Alphonse de Polignac, 1817—
1890）猜测任意偶数都是无穷多个相邻素数对的间隔。这个猜想对应于2的特殊情形，
就是存在无穷多孪生素数。格莱舍（James W. L. Glaisher, 1848—1928）列举了
$10^5$以内的所有孪生素数，并得出结论“毫无疑问孪生素数有无穷多，如何证明之是
很有意思但却并不容易的问题。”格莱舍曾获得剑桥大学1887年数学学位考试第二名
（Second Wrangler），曾担任担任皇家天文学会主席，还是著名哲学家维特根斯坦
（Ludwig Wittgenstein, 1889—1951）的老师。
这是孪生素数猜想可查的最初起源。由于其表述简单自然，我们有理由怀疑这个问题可
能被更早的学者，甚至是古希腊的数学家思考过。但是根据数学史学家，特别是研究欧
拉工作的学者的观点，欧拉的工作中没有讨论过孪生素数。既然欧拉以博学高产闻名于
世，我们几乎可以认定波利尼亚克是最早提出孪生素数问题的数学家。
许多数学家都研究过这个表述极为简洁的孪生素数猜想。虽然间隔2是数学家们所期望
的，但是任何比来自素数定理所蕴含的间隔更小的估计都很有价值。任何关于这些间隔
的描述或分布规律都是重要而有趣的1。
关于素数的间隔，我们已经得到许多部分的和带额外条件限制的结果，以及许多列举孪
生素数对的数值工作。其贡献者包括Hardy, Littlewood, Siegel, Selberg,
Rankin, Vinogradov,
华罗庚, Erd\"os, Bombieri, Brun, Davenport, Rademacher, R\'enyi, 王元, 陈
景润, 潘承洞, Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown, Huxley, Maier, Granville,
Soundararajan等著名数学家。事实上，我们很难说出过去100年中有哪个解析数论学家
没有直接或间接的研究过孪生素数猜想。当然还有许多业余数学家的不懈努力。
一个重要和鼓舞人心的结果在2009年被Goldston, Pintz和Yildirim证明。从某种意义
上说，他们的结果是首破坚冰之作。他们证明虽然素数的间隔在平均意义上趋于无穷
大，但实际却可以非常小。这被认为是这个问题80年来最杰出的工作 [2， p. 1]。假
设关于算术级数素数分布的Elliott-Halberstam猜想成立，他们可以证明存在无穷多间
隔小于16的素数对。
在 [1， p. 822]中，他们还提出如下问题“是否能用我们的方法无条件的证明存在无
穷多的间隔固定的素数对？”虽然他们的结果看似距离这个问题“只有头发丝那么细”
[1， P.822]，但是困难依然巨大。
该如何应用或改进 [1， p. 822]的结论？也许这正是张益唐工作的起点。这个问题的
困难在 [1， p. 819]中有精辟的描述：“这个问题不仅困难，而且它在大多数这个领
域的数学家中背负着‘毫无解决希望’的名声，我们不知道任何不借助额外条件的方法
可以对付这个问题。”
事实上，在张益唐的工作出来之前，这个领域的几乎所有专家都认为这个问题有着不可
逾越的困难。在Soundararajan [1，p. 17]{so}看来，“首先，也即最重要的，是考虑
能否无条件的证明有界素数间隔的存在性。在目前看来，回答是否定的，但是也许这个
方法的某些变例会行得通。”
研究素数最基本或者说仅有的方法就是筛法。但是要从目前已知的众多有着微妙差别的
筛法中找出能够有效应用于某个具体问题的筛法，是一门艺术。我们需要实实在在的原
创思想来打破表面上的僵局。在这个问题上钻研了3年之后，2012年7月，张益唐在访问
科罗拉多州的朋友期间，终于捕获了关键的灵感。他解决了 [1，Question 1]中的问
题。在某种意义上，正是一贯的坚持和信念，使他在世界顶尖专家都无能为力的难题上
取得了成功。
2013年5月13日，张益唐受丘成桐教授邀请，在哈佛大学作了一个报告。在报告中，他
首次向学术界宣布了他在文章 [5]中证明的里程碑式的定理：“ 存在无穷多间隔小于7
千万的素数对。”
这标志着解析数论这个古老的学科又翻过了一个绚烂的华章，并预示着下一个新纪元的
到来。
张益唐的学术生涯
张益唐的学术生涯是典型和非典型的结合，或许就像他所热爱的素数。1978年张益唐考
入北京大学，1982年毕业时他被认为是当时最优秀的学生2。随后的1982年至1985年，
他在潘承彪指导下继续在北京大学攻读硕士学位，因此他也成为了华罗庚（1910-
1985）的门生之一3。
1991年张益唐在普渡大学获得博士学位之后4，他没能找到大学的正式教职。之后他从
事过各种各样的工作，当过会计，也在快餐店打过工。但是数学始终是他的挚爱。1999
年到2005年，他作为代课老师在新罕布什尔大学教授课程。2005年至今，张益唐在新罕
布什尔大学担任讲师。张益唐是一个非常优秀的授课教师，受到学生的高度评价。从某
种意义上说，目前为止，张益唐从来没有获得过正式的数学研究职位。正因为如此，他
能在这样一段艰苦而漫长的岁月里坚持不懈地执着钻研数学界最具挑战性难题的举动才
更令人感动和印象深刻（例如黎曼zeta函数零点分布和孪生素数猜想）。他的坚持印证
了一句中国俗语："皇天不负有心人！"
张益唐的博士论文研究著名的关于多项式映照的雅克比猜想，这个猜想至今依然未被证
明，它也因为有众多错误的证明而愈加著名。在获得博士学位之后到取得孪生素数研究
的重大突破之前的这段时间里，张益唐只在著名的《杜克数学期刊》上发表了一篇论文
《关于$\zeta'(s)$ 在临界线附近的零点》（``On the zeros of $\zeta'(s)$ near
the critical line''）。这篇论文的研究内容是黎曼zeta函数及其导数的零点以及零
点之间的距离。1985年，张益唐在中国顶尖数学杂志之一《数学学报》上发表了另一篇
关于黎曼zeta函数零点的论文。
也许有必要指出这些零点的间距和孪生素数密切相关 [3，p. 2]：“关于素数对$p$和
$p+2k$（$2k$为偶数）出现频率的精确认识对黎曼zeta函数零点坐标的空间分布有着微
妙的蕴意....另一方面来说，特异（基本不可能）零点模式在zeta类函数意味着存在无
穷多的孪生素数。”
在当今这个一切都是批量生产的文化环境下，一个人究竟应该或者能够创造出多少成
果，这个问题或许值得我们深思。这让人联想到托尔斯泰的著名短篇小说《一个人需要
多少土地》。 这篇小说里的土地读者可以自行可以替换成其他任何你想追求的东西。
文章的数量和篇幅是否是有效的衡量标准呢？或许我们应该始终牢记，时间是检验一切
的最佳标准！
也许不是每个人都熟悉黎曼猜想，但是每个学过微积分的学生一定都听说过黎曼和以他
的名字命名的积分。绝大多数数学家都会同意黎曼是历史上最伟大的数学家之一。但是
可能很少有人知道，黎曼一生只发表了5篇数学文章和4篇物理文章。（伽罗华一生中发
表的文章更少，但他并不是一个全职数学家，而且在很年轻的学生时期就去世了。）
素数并不孤独
素数的概念也是感性化的。素数是整数里的一些单独的数，但对于某些素数（或许对某
些人也一样）来说，有一个如同孪生素数那样的亲密伙伴就足够了。这种特殊的感情在
保罗·乔尔达诺的小说《素数的孤独》里有着很好的描述。我们来引用这本书里的一段
话: 素数“是多疑而孤独的数，这是马蒂亚（小说中的主人公）认为素数奇妙的原因。
有时他觉得素数是在不经意间形成数列，它们是被束缚了，就像一串项链上的珍珠。有
时他又觉得素数原本更希望能和其它普通的数一样，但是因为某些原因，它们不能成为
普通的数....有些素数甚至更加独特。数学家们称之为孪生素数：成对的素数彼此相
近，几乎相邻，但是他们之间始终为一偶数所隔，无法触及。”
张益唐使人们回想起几代中国学生心目中的英雄人物之一陈景润，以及他在著名的哥德
巴赫猜想上所取得的成果。陈景润和张益唐都是孤独而坚持不懈地钻研着数论方面的艰
深难题，他们都为祖国，尤其是中国数学界赢得了巨大的荣耀。
当然，陈景润的故事对于每个中国学生来说都耳熟能详。趣味数学书《遇见哥德巴赫猜
想》
作者多夏狄斯（Apostolos Doxiadis）用带有浪漫主义的细腻笔触描写了一个数学家钻
研哥德巴赫猜想的故事。（顺便说一句，小说中的主人公比德罗斯叔叔从获得博士学位
以后到开始转向哥德巴赫猜想研究的这段时间内只发表了一篇论文。）
本文由哈佛大学徐浩译
文章作者和翻译者都是数学界的大牛，曾经得过晨兴数学奖的季理真和徐浩。华人在数学界还是很牛B的。。。。
2013年6月8日，受哥倫比亞大學邀請前來紐約 講學的華人數學家、新罕布什爾大學講師張益唐，在法拉盛湘水山莊與新朋老友聚會，約50餘人擠滿了二樓餐廳，慶祝這位數學家取得偉大的數學成就。慶祝會之 後，張益唐在距離湘水山莊不遠的玫瑰茶室接受了《名星》記者陳小平的專訪，一同參加談話的還有張益唐的北大好友、哲學家胡平。在採訪中，張益唐對記者談到 了他的數學研究歷程、未來研究計劃、與妻子的軼事、中國父母情況、個人愛好以及回國打算等。
我這人野心太大
名星：我對數學問題是外行，今天我們採訪不談嚴肅話題，我想到哪問到哪，我估計不少人對你數學之外的故事是很有興趣的。
張： 好呀，這樣倒輕鬆。
名星：從各種報導看，究竟你什麼時候開始孿生素數研究，好像不是很清楚。我知道你的博士論文做的是被稱作代數幾何領域最難攻破的雅克比猜想，你是怎樣又跨入了數論領域的孿生素數研究的呢？\r
張： 雅克比猜想這個問題我已經很長時間不做了，我發現我的興趣還是在數論，所以我又回到那兒。在數學研究中，我經常是同時在想好幾個問題。其實，我對孿生素數 的研究早就有了很好的部分結果了，可能是我這人野心太大還是怎麼樣呢，要是沒有做完，我就不想發表。現在，我手裡還留著好幾個東西呢。
名星：外面說你這麼多年沒有發表什麽東西，原來是你把東西都拽在手上？
張：是，這些東西是拽在我手上。
名星：很有意思。外界說你沒出東西，事實上，是你手上有東西，沒有往外放。
張：事實上，我手上拽了幾個東西，那怕就是部分結果拿出來，其成果也會非常好。我這人就是這種個性——追求完美。用英文說，Partial result，如果拿出來，也是很好的論文，可我就不甘心，為什麼我不能把它完全做完？完全做完之後拿出來的東西就是大東西了。
名星：你的這些自認為有把握的拽在手上的東西，是你從普渡大學做雅克比猜想的時候就做出來的呢，還是可以上溯到更早的時候，是在北大讀碩士的時候呢？例如，你1985年在《數學學報》上就發表了東西。
張： 有些想法是我從北大的時候就開始有了。我讀碩士是搞數論，丁石孫教授當時是北大數學系主任，他要我改行去學代數幾何，他說代數幾何很重要。這些故事，網上 都已經捅出來了。本來是丘成桐幫忙，當時丘成桐還在加州大學聖迭戈分校任教（1984年至1987年），約在1984年左右，丘成桐給我推薦了聖迭戈分校 解析數論學家Harold Stark，結果被丁石孫給否了。5月13日我去哈佛介紹孿生素數研究成果時，丘成桐告訴我這裡面的故事。再後來，我就跟了代數幾何方面的高手莫宗堅，他 當時想找個中國學生幫他做。
名星：這就是你去普渡的原因？
張：對，就是這樣。
名星：你的導師對你評價很高。網上說他的論文一個結論導致你的研究走了彎路，不過，他說，他的論文沒有問題，這是怎麼回事？
張：他認為他是對的，而且誰都相信他是對的，但是，他沒有證出來。他告訴我他的研究是對的，我照著他說的路子就都做出來了，但回過頭來才發現，沒有證據證明他是對的。我也不認為他是錯的，但他還沒有拿出證據證明他是對的。
91年從普渡出來以後，我又回到我的數論上來，期間斷斷續續做這個，做那個，2001年還發表了一篇論文。
名星：你指的是在《杜克數學》發表的那篇文章？
張：這些資料似乎你們都知道了。
名星：本來關於你的信息就不多，有關你的一些資料，網絡基本上都挖掘了。不過，你的朋友胡平、馮勝平、楊巍在湘水山莊講的那些你在生活上的精彩故事，外界基本無人知道。
黎曼猜想成果拿出來會轟動
名星：你說手上拽了幾個東西，都是在你這20多年隱身期間分階段完成的？到了哪一年時，你覺得你的階段研究成果已經很不錯了？
張：這裡要解釋一下，不是發表出來的報導錯了，如果有錯，是我把人家搞錯了。人家問我一共想了多少年，我說三年或四年左右。
名星：精確點說，是不是北大校友拉你去新罕布什爾大學時，你開始進入孿生素數研究領域？
張：這個時候，我還沒有完全進入孿生素數猜想，這個時候，我還在想別的，包括黎曼猜想。
這個黎曼猜想，我手上也有一些東西，如果拿出來，也會很轟動，我就是這種習慣，如果沒有完全結果，或者到最後，我覺得我不可能再做了，我也許會把它拿出來，但我現在是不想拿出來的。
這 個孿生素數問題，實際我想了不止三年，斷斷續續想了很多年，就是因為看了前面三個分別來自美國、匈牙利和土耳其數學家已有的研究結果，可能這個領域的所有 專家都在想這個問題，他們的研究已到了有很好成果這樣的階段了。在他們思考的基礎上，能不能……誰都知道，是在關鍵問題跨越那根頭髮絲。我能做出來，是我 比他們堅持的時間長。他們也想了很久，最後實在做不下去，就放棄了。我有一種直覺，你要我去論證這種直覺我沒法論證，但這種直覺告訴我，我應該可以做出 來。
在這個過程中，我嘗試了很多種辦法，可能不是一根頭髮絲的距離，而是半根、1/4或1/8根頭髮絲的距離，可就 是邁不過去。然後，這麼積累，就到了去年夏天的那個看梅花鹿的故事那個瞬間——我的好友，指揮家齊光的後院裡經常有梅花鹿來做客，那天，我是想去看看有沒 有梅花鹿，其實那次我沒看到，但在那一瞬間，我突然想出來了，其實就是這麼一回事。
名星：你的关于孪生素数成果出来之后，有没有人出来质问你？指你证明不对的呢？
张：没有。波兰裔的审稿人伊万列斯（Henryk Iwaniec）给我一个非常好的评价，他是解析数论这方面的大师。
我写论文的时候，我就想好了，我的论文就是写给这些专家看的，就是只有他们能看懂的，全世界能看懂的也就是不超过十个人，我的论文中还大量引用了这些人的名字和他们的研究成果。我想，我的论文投出去给他们看，他们很容易就能看明白。
后来的结果果然是这样。从投稿到给我答覆是三个星期，实际上，我的论文中，非本质的、细节性的差错还是有点，但大师级的人看你的东西，他可以不管这些差错， 他看你的思路，他觉得你是对的就行，那些小差错都是可以修改的。这是我们做数学的人都知道的。没有想到的是，三个星期就给我来了通知，而且说的是那么肯定。我用中文来说他们的审稿通知是：“我们把你的论证非常仔细地、非常彻底地看了，我们发现找出你的一个小漏洞非常困难”——这意思是“我们找不出问题出来”。这也是这几天我在纽约听到的，审稿人伊万列斯说我的证明“水晶般地透明”。
就像我刚才在会上说的，只有三件事情让我高兴，第一是我把它做出来了，第二，它是那么快地得到承认，第三，我突破了一根头髮丝般的距离。至于别的什么出名呀，我一点都不觉得高兴，反而觉得头疼。
我没有想到结果会是如此轰动
名星：你觉得你有绝对的信心？
张：我在投稿之前我就自己问自己，这个是不是对的？我的论文是在2012年写完的，然后就是修改，一步步地细细检查，那个是很累的，甚至比写出来还累。
名星：你的投稿时间是2012年几月？
张：4月份。然后5月13日就去哈佛演讲了。
名星：为什麽你第一站选择去哈佛演讲呢？
丘成桐教授。他邀请张益唐去哈佛作报告。
张： 丘成桐把我叫过去的。我本来不想去，本来这个时间是计划中的我的学生期末考试时间，监考完了之后，我跟我的研究生助教一起改学生考试卷子。5月8日下午或 晚上的时候，审稿人的报告就出来了，我是5月9日早上看到的。看了之后，我都愣住了——没有想到评价会高到那个程度。（注：评审报告中写着这样的评价： “论文的主要结果是第一流的”、“在素数分布领域的一个标志性的定理”。审稿人伊万列斯在写给丘成桐的信中说： “张益唐的文章三週前被《数学年鉴》（Annals of Mathematics）接受，而在此之前，他在解析数论学界并不为人所熟知。但是他掌握解析数论最复杂课题的知识，并得以运用自如。他能够突破令许多专家都止步不前的屏障，并非因为人们忽视了微小之处，而是由于他引入了全新而巧妙的布局并漂亮的加以执行。仅从论证的清晰的逻辑架构，你可以立即感受到这项 工作几乎无可置疑的优秀。这并不意味着这篇文章简单或者初等。恰恰相反，张的工作是解析数论的顶峰之作。他也优雅的借用其他领域的工具，比如间接用到有限 域上代数簇的黎曼猜想。张的工作将引发持久雪崩式的优化和改进，以及随之而来的理论创新。一夜之间，张重新定位了解析数论的焦点。随后的进展需要等待多 久，令人期待。”）
名星：这有点奇怪，你不是说对自己的研究成果非常自信？
张：我是知道我的研究是一个很好的结果，但我没有想到结果会是如此轰动。而且，这个结果在整个数学界有轰动是正常的，现在整个社会都这样轰动，是我开始没有想到、也没有去想过的。
我的研究比陈景润的研究更有突破性
名星：中国拿了个诺贝尔文学奖，这个奖有人说是诺贝尔奖里面的.Zheng4.治奖，因此呢，人们也指望中国人在非.Zheng4.治类领域能有重大突破，拿一个非.Zheng4.治奖的诺贝尔级别的奖。你的研究在数学领域以外能获得这麽大的知名度，可能与这个有关？
胡平：英文媒体的报导也许是基于研究的质量，中国媒体的报导可能并不知道它的份量，它可能与扬国威、振兴中华等有关系。
名星：你刚才提到丘成桐，我好像觉得他把中国人对数学的一点自信都打掉了。为什麽这样说呢？这是指他对陈景润的研究成果的评价。对很多中国人来说，那是在天 上的一个数学成果。记得徐迟那篇报导文学中，说陈是摘取“数学皇冠上的明珠”的人。但陈的研究成果在丘成桐看来并不怎麽样。他在国内接受采访时说：国内 “以为陈景润的哥德巴赫猜想是全世界最伟大的问题，事实上不是，在美国没有人在乎哥德巴赫猜想，你问做数论的人。是媒体误导成功的。”
究竟中国人能拿出什麽样的数学成绩呢？这个时候，你的研究成果出来了，问一个比较外行问题：如果用小学、中学和大学层次来简单对比的话，你的研究成果与陈景润的研究成果相比，究竟如何呢？
张：这两个研究有点不一样。客观地讲，我的研究应该比陈景润好，但陈景润应该也是第一流的，我们的研究成果都是第一流的。
名星：既然都是第一流的，第一流中是不是有超一流的呢？
张：我的研究似乎更有突破性。陈景润是从1＋3进展到1＋2，我的研究是从无限变成了有限，这个跨越应该比他那个更大。
名 星：再回头看，丘成桐先生对陈景润的研究成果评价不高，他对你的研究成果评价如何呢？现在似乎还没有看到他对你的研究的评价，只是知道他邀请你去哈佛做演 讲。网络上有人因此分析说，“显然他不会说张的坏话，因为就是他邀请张去哈佛给报告（而且还要张去得越早越好），讲他的研究结果的。丘成桐如果认为这个结 果不重要，自然不可能邀请张去哈佛做报告，更不可能催他越早给报告越好。丘成桐的行动已经可以说明一切了。”
张：他对我的这个研究的评价高得不得了。他带我出去的时候，都提到我的这个研究成果，说比陈景润要好得多。
名星：这些评价好像都没有报导出来？
张：真正像他这类人，他反而不能在网上随便乱说话了。
我這人野心太大
名星：我對數學問題是外行，今天我們採訪不談嚴肅話題，我想到哪問到哪，我估計不少人對你數學之外的故事是很有興趣的。
張： 好呀，這樣倒輕鬆。
名星：從各種報導看，究竟你什麼時候開始孿生素數研究，好像不是很清楚。我知道你的博士論文做的是被稱作代數幾何領域最難攻破的雅克比猜想，你是怎樣又跨入了數論領域的孿生素數研究的呢？\r
張： 雅克比猜想這個問題我已經很長時間不做了，我發現我的興趣還是在數論，所以我又回到那兒。在數學研究中，我經常是同時在想好幾個問題。其實，我對孿生素數 的研究早就有了很好的部分結果了，可能是我這人野心太大還是怎麼樣呢，要是沒有做完，我就不想發表。現在，我手裡還留著好幾個東西呢。
名星：外面說你這麼多年沒有發表什麽東西，原來是你把東西都拽在手上？
張：是，這些東西是拽在我手上。
名星：很有意思。外界說你沒出東西，事實上，是你手上有東西，沒有往外放。
張：事實上，我手上拽了幾個東西，那怕就是部分結果拿出來，其成果也會非常好。我這人就是這種個性——追求完美。用英文說，Partial result，如果拿出來，也是很好的論文，可我就不甘心，為什麼我不能把它完全做完？完全做完之後拿出來的東西就是大東西了。
名星：你的這些自認為有把握的拽在手上的東西，是你從普渡大學做雅克比猜想的時候就做出來的呢，還是可以上溯到更早的時候，是在北大讀碩士的時候呢？例如，你1985年在《數學學報》上就發表了東西。
張： 有些想法是我從北大的時候就開始有了。我讀碩士是搞數論，丁石孫教授當時是北大數學系主任，他要我改行去學代數幾何，他說代數幾何很重要。這些故事，網上 都已經捅出來了。本來是丘成桐幫忙，當時丘成桐還在加州大學聖迭戈分校任教（1984年至1987年），約在1984年左右，丘成桐給我推薦了聖迭戈分校 解析數論學家Harold Stark，結果被丁石孫給否了。5月13日我去哈佛介紹孿生素數研究成果時，丘成桐告訴我這裡面的故事。再後來，我就跟了代數幾何方面的高手莫宗堅，他 當時想找個中國學生幫他做。
名星：這就是你去普渡的原因？
張：對，就是這樣。
名星：你的導師對你評價很高。網上說他的論文一個結論導致你的研究走了彎路，不過，他說，他的論文沒有問題，這是怎麼回事？
張：他認為他是對的，而且誰都相信他是對的，但是，他沒有證出來。他告訴我他的研究是對的，我照著他說的路子就都做出來了，但回過頭來才發現，沒有證據證明他是對的。我也不認為他是錯的，但他還沒有拿出證據證明他是對的。
91年從普渡出來以後，我又回到我的數論上來，期間斷斷續續做這個，做那個，2001年還發表了一篇論文。
名星：你指的是在《杜克數學》發表的那篇文章？
張：這些資料似乎你們都知道了。
名星：本來關於你的信息就不多，有關你的一些資料，網絡基本上都挖掘了。不過，你的朋友胡平、馮勝平、楊巍在湘水山莊講的那些你在生活上的精彩故事，外界基本無人知道。
黎曼猜想成果拿出來會轟動
名星：你說手上拽了幾個東西，都是在你這20多年隱身期間分階段完成的？到了哪一年時，你覺得你的階段研究成果已經很不錯了？
張：這裡要解釋一下，不是發表出來的報導錯了，如果有錯，是我把人家搞錯了。人家問我一共想了多少年，我說三年或四年左右。
名星：精確點說，是不是北大校友拉你去新罕布什爾大學時，你開始進入孿生素數研究領域？
張：這個時候，我還沒有完全進入孿生素數猜想，這個時候，我還在想別的，包括黎曼猜想。
這個黎曼猜想，我手上也有一些東西，如果拿出來，也會很轟動，我就是這種習慣，如果沒有完全結果，或者到最後，我覺得我不可能再做了，我也許會把它拿出來，但我現在是不想拿出來的。
這 個孿生素數問題，實際我想了不止三年，斷斷續續想了很多年，就是因為看了前面三個分別來自美國、匈牙利和土耳其數學家已有的研究結果，可能這個領域的所有 專家都在想這個問題，他們的研究已到了有很好成果這樣的階段了。在他們思考的基礎上，能不能……誰都知道，是在關鍵問題跨越那根頭髮絲。我能做出來，是我 比他們堅持的時間長。他們也想了很久，最後實在做不下去，就放棄了。我有一種直覺，你要我去論證這種直覺我沒法論證，但這種直覺告訴我，我應該可以做出 來。
在這個過程中，我嘗試了很多種辦法，可能不是一根頭髮絲的距離，而是半根、1/4或1/8根頭髮絲的距離，可就 是邁不過去。然後，這麼積累，就到了去年夏天的那個看梅花鹿的故事那個瞬間——我的好友，指揮家齊光的後院裡經常有梅花鹿來做客，那天，我是想去看看有沒 有梅花鹿，其實那次我沒看到，但在那一瞬間，我突然想出來了，其實就是這麼一回事。
名星：你的关于孪生素数成果出来之后，有没有人出来质问你？指你证明不对的呢？
张：没有。波兰裔的审稿人伊万列斯（Henryk Iwaniec）给我一个非常好的评价，他是解析数论这方面的大师。
我写论文的时候，我就想好了，我的论文就是写给这些专家看的，就是只有他们能看懂的，全世界能看懂的也就是不超过十个人，我的论文中还大量引用了这些人的名字和他们的研究成果。我想，我的论文投出去给他们看，他们很容易就能看明白。
后来的结果果然是这样。从投稿到给我答覆是三个星期，实际上，我的论文中，非本质的、细节性的差错还是有点，但大师级的人看你的东西，他可以不管这些差错， 他看你的思路，他觉得你是对的就行，那些小差错都是可以修改的。这是我们做数学的人都知道的。没有想到的是，三个星期就给我来了通知，而且说的是那么肯定。我用中文来说他们的审稿通知是：“我们把你的论证非常仔细地、非常彻底地看了，我们发现找出你的一个小漏洞非常困难”——这意思是“我们找不出问题出来”。这也是这几天我在纽约听到的，审稿人伊万列斯说我的证明“水晶般地透明”。
就像我刚才在会上说的，只有三件事情让我高兴，第一是我把它做出来了，第二，它是那么快地得到承认，第三，我突破了一根头髮丝般的距离。至于别的什么出名呀，我一点都不觉得高兴，反而觉得头疼。
我没有想到结果会是如此轰动
名星：你觉得你有绝对的信心？
张：我在投稿之前我就自己问自己，这个是不是对的？我的论文是在2012年写完的，然后就是修改，一步步地细细检查，那个是很累的，甚至比写出来还累。
名星：你的投稿时间是2012年几月？
张：4月份。然后5月13日就去哈佛演讲了。
名星：为什麽你第一站选择去哈佛演讲呢？
丘成桐教授。他邀请张益唐去哈佛作报告。
张： 丘成桐把我叫过去的。我本来不想去，本来这个时间是计划中的我的学生期末考试时间，监考完了之后，我跟我的研究生助教一起改学生考试卷子。5月8日下午或 晚上的时候，审稿人的报告就出来了，我是5月9日早上看到的。看了之后，我都愣住了——没有想到评价会高到那个程度。（注：评审报告中写着这样的评价： “论文的主要结果是第一流的”、“在素数分布领域的一个标志性的定理”。审稿人伊万列斯在写给丘成桐的信中说： “张益唐的文章三週前被《数学年鉴》（Annals of Mathematics）接受，而在此之前，他在解析数论学界并不为人所熟知。但是他掌握解析数论最复杂课题的知识，并得以运用自如。他能够突破令许多专家都止步不前的屏障，并非因为人们忽视了微小之处，而是由于他引入了全新而巧妙的布局并漂亮的加以执行。仅从论证的清晰的逻辑架构，你可以立即感受到这项 工作几乎无可置疑的优秀。这并不意味着这篇文章简单或者初等。恰恰相反，张的工作是解析数论的顶峰之作。他也优雅的借用其他领域的工具，比如间接用到有限 域上代数簇的黎曼猜想。张的工作将引发持久雪崩式的优化和改进，以及随之而来的理论创新。一夜之间，张重新定位了解析数论的焦点。随后的进展需要等待多 久，令人期待。”）
名星：这有点奇怪，你不是说对自己的研究成果非常自信？
张：我是知道我的研究是一个很好的结果，但我没有想到结果会是如此轰动。而且，这个结果在整个数学界有轰动是正常的，现在整个社会都这样轰动，是我开始没有想到、也没有去想过的。
我的研究比陈景润的研究更有突破性
名星：中国拿了个诺贝尔文学奖，这个奖有人说是诺贝尔奖里面的.Zheng4.治奖，因此呢，人们也指望中国人在非.Zheng4.治类领域能有重大突破，拿一个非.Zheng4.治奖的诺贝尔级别的奖。你的研究在数学领域以外能获得这麽大的知名度，可能与这个有关？
胡平：英文媒体的报导也许是基于研究的质量，中国媒体的报导可能并不知道它的份量，它可能与扬国威、振兴中华等有关系。
名星：你刚才提到丘成桐，我好像觉得他把中国人对数学的一点自信都打掉了。为什麽这样说呢？这是指他对陈景润的研究成果的评价。对很多中国人来说，那是在天 上的一个数学成果。记得徐迟那篇报导文学中，说陈是摘取“数学皇冠上的明珠”的人。但陈的研究成果在丘成桐看来并不怎麽样。他在国内接受采访时说：国内 “以为陈景润的哥德巴赫猜想是全世界最伟大的问题，事实上不是，在美国没有人在乎哥德巴赫猜想，你问做数论的人。是媒体误导成功的。”
究竟中国人能拿出什麽样的数学成绩呢？这个时候，你的研究成果出来了，问一个比较外行问题：如果用小学、中学和大学层次来简单对比的话，你的研究成果与陈景润的研究成果相比，究竟如何呢？
张：这两个研究有点不一样。客观地讲，我的研究应该比陈景润好，但陈景润应该也是第一流的，我们的研究成果都是第一流的。
名星：既然都是第一流的，第一流中是不是有超一流的呢？
张：我的研究似乎更有突破性。陈景润是从1＋3进展到1＋2，我的研究是从无限变成了有限，这个跨越应该比他那个更大。
名 星：再回头看，丘成桐先生对陈景润的研究成果评价不高，他对你的研究成果评价如何呢？现在似乎还没有看到他对你的研究的评价，只是知道他邀请你去哈佛做演 讲。网络上有人因此分析说，“显然他不会说张的坏话，因为就是他邀请张去哈佛给报告（而且还要张去得越早越好），讲他的研究结果的。丘成桐如果认为这个结 果不重要，自然不可能邀请张去哈佛做报告，更不可能催他越早给报告越好。丘成桐的行动已经可以说明一切了。”
张：他对我的这个研究的评价高得不得了。他带我出去的时候，都提到我的这个研究成果，说比陈景润要好得多。
名星：这些评价好像都没有报导出来？
张：真正像他这类人，他反而不能在网上随便乱说话了。
就是说这个证明已经被学界广泛认可了。abc猜想的那个证明最近有人说些什么吗？
11月22至23日，2013前沿数学研讨会（Current Developments in Mathematics 2013）在哈佛大学举行。前沿数学研讨会每年举办一次，邀请当前数学领域的专家报告最近的重要进展。本次研讨会上，北大校友张益唐（1978级）、恽之玮（2000级）、张伟（2000级）受邀参会，分别作题为“Bounded Gaps between Primes”、“Rigidity in Automorphic Representations and Local Systems”、“Heegner Points and the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture”的学术报告。
前沿数学研讨会（CDM）由美国哈佛大学和麻省理工学院共同主办，是一年一度数学领域的研讨会，致力于向数学领域的学者们汇报最新数学领域发展状况。前沿数学研讨会遴选委员会由来自哈佛大学的三位教授和来自美国麻省理工学院的三位教授共同组成，委员会成员都是当今在数学领域前沿工作的专家学者。在选择研讨会讲师的会议中，委员会成员放眼整个数学领域，邀请不仅在各自领域贡献卓著，而且观念超前的专家学者作为本年度研讨会的报告人。
6个报告数学家里有3个北京大学的。。。。。。。。。。。。。。。
前沿数学研讨会（CDM）由美国哈佛大学和麻省理工学院共同主办，是一年一度数学领域的研讨会，致力于向数学领域的学者们汇报最新数学领域发展状况。前沿数学研讨会遴选委员会由来自哈佛大学的三位教授和来自美国麻省理工学院的三位教授共同组成，委员会成员都是当今在数学领域前沿工作的专家学者。在选择研讨会讲师的会议中，委员会成员放眼整个数学领域，邀请不仅在各自领域贡献卓著，而且观念超前的专家学者作为本年度研讨会的报告人。
6个报告数学家里有3个北京大学的。。。。。。。。。。。。。。。
来一个图：
近几届华人不少：
太深奥了 。
Terry Tao!beancurd 发表于 2014-1-18 12:05
Terry Tao!
怎么了？。。。。。。。。。。。。。。。。。
Terry Tao!
怎么了？。。。。。。。。。。。。。。。。。
花落庭院 发表于 2014-1-17 22:40
怎么了？。。。。。。。。。。。。。。。。。
大神啊，世界上唯一能跟黎曼相比的数学家，最有希望拿两次菲尔兹奖的人，最有希望证明黎曼猜想的人
在这种大神面前，神码都是浮云啊
怎么了？。。。。。。。。。。。。。。。。。
大神啊，世界上唯一能跟黎曼相比的数学家，最有希望拿两次菲尔兹奖的人，最有希望证明黎曼猜想的人
在这种大神面前，神码都是浮云啊
beancurd 发表于 2014-1-19 00:20
大神啊，世界上唯一能跟黎曼相比的数学家，最有希望拿两次菲尔兹奖的人，最有希望证明黎曼猜想的人
在 ...
不是说张这个东西也跟黎曼猜想有关系吗？
大神啊，世界上唯一能跟黎曼相比的数学家，最有希望拿两次菲尔兹奖的人，最有希望证明黎曼猜想的人
在 ...
不是说张这个东西也跟黎曼猜想有关系吗？
嗯，数论家们实在是太逊了。
桃潭人家 发表于 2014-1-19 09:46
嗯，数论家们实在是太逊了。
数论家怎么了？求科普
嗯，数论家们实在是太逊了。
数论家怎么了？求科普
为什么说素数和密码关系密切，求科普
能够深入浅促吗？别想歪了？求科普
水多湿身 发表于 2014-1-18 21:35
为什么说素数和密码关系密切，求科普
现在的公钥加密算法是基于大素数的高次幂的。如果素数的规律被完全破解了，公钥加密算法将不存在。
为什么说素数和密码关系密切，求科普
现在的公钥加密算法是基于大素数的高次幂的。如果素数的规律被完全破解了，公钥加密算法将不存在。
数论好像没什么实用价值啊，工程上还没看到过应用
beancurd 发表于 2014-1-19 13:00
现在的公钥加密算法是基于大素数的高次幂的。如果素数的规律被完全破解了，公钥加密算法将不存在。
传说，望月新一是比特币的发明人。重要的是他证明了abc猜想。更重要的是他发明了一种新理论，把几何学与数论结合的来新分支。叫做“宇宙际Teichmüller理论”，引入了“外星算数全纯结构”这样玄幻的名词。同时随着abc猜想的解决其他经典数论问题也可随之解决，包括费马大定理。
费马大定理的已经由安德鲁·怀尔斯解决。也确实是通过把其转化为几何问题才解决的。如果望月新一的宇宙理论是真的，那绝对是比肩牛顿莱布尼茨式的人物。
另外谣传，望月新一与牛顿一样非常关心货币问题，比特币就是其发明。由于其个人在数论上的成就，望月新一可能会成为最富有的人，新时代的货币之父。望月新一目前100W个btc，目前btc的市值大约是4800多元人民币。
现在的公钥加密算法是基于大素数的高次幂的。如果素数的规律被完全破解了，公钥加密算法将不存在。
传说，望月新一是比特币的发明人。重要的是他证明了abc猜想。更重要的是他发明了一种新理论，把几何学与数论结合的来新分支。叫做“宇宙际Teichmüller理论”，引入了“外星算数全纯结构”这样玄幻的名词。同时随着abc猜想的解决其他经典数论问题也可随之解决，包括费马大定理。
费马大定理的已经由安德鲁·怀尔斯解决。也确实是通过把其转化为几何问题才解决的。如果望月新一的宇宙理论是真的，那绝对是比肩牛顿莱布尼茨式的人物。
另外谣传，望月新一与牛顿一样非常关心货币问题，比特币就是其发明。由于其个人在数论上的成就，望月新一可能会成为最富有的人，新时代的货币之父。望月新一目前100W个btc，目前btc的市值大约是4800多元人民币。
土地革命001 发表于 2014-1-19 00:07
传说，望月新一是比特币的发明人。重要的是他证明了abc猜想。更重要的是他发明了一种新理论，把几何学与 ...
查了下这人，的确也牛，不过比起Terry Tao么……似乎还没听我导师提起过他。估计是因为他的ABC猜想证明太长还没有被完全证实有关。
周一跟我导师打听下看看
ps：比特币这种东西类似邪教，没有接盘侠100亿枚都是浮云。
土地革命001 发表于 2014-1-19 00:07
传说，望月新一是比特币的发明人。重要的是他证明了abc猜想。更重要的是他发明了一种新理论，把几何学与 ...
查了下这人，的确也牛，不过比起Terry Tao么……似乎还没听我导师提起过他。估计是因为他的ABC猜想证明太长还没有被完全证实有关。
周一跟我导师打听下看看
ps：比特币这种东西类似邪教，没有接盘侠100亿枚都是浮云。
beancurd 发表于 2014-1-19 14:16
查了下这人，的确也牛，不过比起Terry Tao么……似乎还没听我导师提起过他。估计是因为他的ABC猜想证明 ...
陶很厉害。。。。。张寿武说：张伟和郓等也不是吃干饭的，这批年轻人是兵团作战
查了下这人，的确也牛，不过比起Terry Tao么……似乎还没听我导师提起过他。估计是因为他的ABC猜想证明 ...
陶很厉害。。。。。张寿武说：张伟和郓等也不是吃干饭的，这批年轻人是兵团作战
花落庭院 发表于 2014-1-19 01:19
陶很厉害。。。。。张寿武说：张伟和郓等也不是吃干饭的，这批年轻人是兵团作战
人比人比死人啊，同是人类差距咋这么大捏……
陶很厉害。。。。。张寿武说：张伟和郓等也不是吃干饭的，这批年轻人是兵团作战
人比人比死人啊，同是人类差距咋这么大捏……