一道初中数学奥赛题，求高人解答！望不吝赐教！

来源：百度文库 编辑：超级军网 时间：2024/04/29 03:32:31
题目是：洛克先生的朋友住在卢平街里，这条街每户人家都有门牌，并按1、2、3……的顺序编号。已知他朋友家左边的门牌号相加与右边门牌号相加所得到的结果相等，又知这条街上的住户数量在50到500之间，问洛克先生的朋友家的门牌号。
现在的孩子考这种题目，实在是太XX了俺无能为力啊，求高人解答！望不吝赐教！题目是：洛克先生的朋友住在卢平街里，这条街每户人家都有门牌，并按1、2、3……的顺序编号。已知他朋友家左边的门牌号相加与右边门牌号相加所得到的结果相等，又知这条街上的住户数量在50到500之间，问洛克先生的朋友家的门牌号。
现在的孩子考这种题目，实在是太XX了俺无能为力啊，求高人解答！望不吝赐教！
只套了个公式，没算，太麻烦了！！！


设住户数量为X，洛克先生门牌号为Y，则有：

① 50=<X<=500；
② Y<X
③ Y(Y-1)=(1+X)X/2-Y

由③得2Y2=X2+X。



设住户数量为X，洛克先生门牌号为Y，则有：

① 50=<X<=500；
② Y<X
③ Y(Y-1)=(1+X)X/2-Y

由③得2Y2=X2+X。

设门牌号依次为1,2,3...N-1，N,N+1....M(50<M<500,N<M)，N为朋友家的门牌号，由已知得：
N(N-1)/2=(M+N+1)(M-N)/2
即
2N*N=M*M+M
写程序
for(int M=50;M<500;M++)
                for (int N = 1; N < M; N++)              
                    if (2 * N * N == M * M + M)
                        Console.WriteLine("M={0},N={1}", M, N);
得
M=288,N=204
等差公式而已
4楼正解。
但是到2N*N=M*M+M这一步，不借助计算机怎样才能推出N或者M的数值呢？
另外，初中好像还没教到等差数列吧？
liuqiship 发表于 2012-7-5 13:57
4楼正解。
但是到2N*N=M*M+M这一步，不借助计算机怎样才能推出N或者M的数值呢？
另外，初中好像还没教到等 ...
需要一个定理，确定X或Y的取值公式。


Y=根号下（X2+X）/2

X Y 均为整数，然后就可以试验了啊，首先根号下部分必然是6的平方、7的平方

这样就变成（X2+X）/2=36、49、64…………然后找让X是整数的值就行。穷举也用不了多少时间，因为23*23=529

试验十来次就得到结果了

-------------------------

Y 的最小值好像不是6，你们看看吧，我头脑不是很清楚了…………反正有整数限制，试验次数不多

Y=根号下（X2+X）/2

X Y 均为整数，然后就可以试验了啊，首先根号下部分必然是6的平方、7的平方

这样就变成（X2+X）/2=36、49、64…………然后找让X是整数的值就行。穷举也用不了多少时间，因为23*23=529

试验十来次就得到结果了

-------------------------

Y 的最小值好像不是6，你们看看吧，我头脑不是很清楚了…………反正有整数限制，试验次数不多


不对，楼上我好像弄错了…………

--------------------

真错了…………1<Y<X<500

试验次数还是多

不对，楼上我好像弄错了…………

--------------------

真错了…………1<Y<X<500

试验次数还是多
su24 发表于 2012-7-5 14:10
Y=根号下（X2+X）/2

X Y 均为整数，然后就可以试验了啊，首先根号下部分必然是6的平方、7的平方
这个试验起来非常麻烦的。Y取值大于50。
答案是250
设N户居民，邻居的门牌为M+1，则能得到N*（N+1）=2*（M+1）*（M+1），如果N=2*X*X，那么就有可能满足关系，此时X=5 to 15，然后，可怜的孩纸在尝试11次以内就能找到答案鸟。。。
蛋疼的题目,小于50户难度小点,大于50户纯是考学生算术快慢.
这是奥数还是考编程思路呢。
kikashine 发表于 2012-7-5 16:15
这是奥数还是考编程思路呢。
lock先生住在looping街里，显然是在靠编程
靠，我儿子去学奥数，整体都背这种题。
我承认 我没算出来

x 和 y 的尾数都可以排除出一个范围

但是仍然无法穷举试探
我承认我根本不会这种题。数学成绩一直很悲剧的路过。
出题的绝对心理变态！！
通过做这道题目，感觉对于奥数本身来说，我认为还是一种比较有效的选拔人才的方法。但是，把某种天才的思维方法灌进普通学生或者其他天才的脑袋里，恐怕不会有任何好结果。
liuqiship 发表于 2012-7-5 13:57
4楼正解。
但是到2N*N=M*M+M这一步，不借助计算机怎样才能推出N或者M的数值呢？
另外，初中好像还没教到等 ...
我是小学五年级上奥赛班学的等差数列，现在已经不会用纯数学方法解了。。。
好ID都喂狗了 发表于 2012-7-5 13:46
设门牌号依次为1,2,3...N-1，N,N+1....M(50
兄台好功夫！但能否想出一点初中生能接受的解题方法？我弟弟才初二~~
莫谈国是 发表于 2012-7-5 17:23
通过做这道题目，感觉对于奥数本身来说，我认为还是一种比较有效的选拔人才的方法。但是，把某种天才的思维 ...
奥赛暑假培训班里的学生，不是钱多了烧的少爷帮，就是未来潜力之星了

莫谈国是 发表于 2012-7-5 15:27
设N户居民，邻居的门牌为M+1，则能得到N*（N+1）=2*（M+1）*（M+1），如果N=2*X*X，那么就有可能满足关系， ...


谢谢指教还有，N*（N+1）应该是指所有门牌数总和吧，那么2*（M+1）*（M+1）是代表神马含义，能否指点一下？我还是有点糊里糊涂的。X=12时，N=288，M+1=204即为解？
莫谈国是 发表于 2012-7-5 15:27
设N户居民，邻居的门牌为M+1，则能得到N*（N+1）=2*（M+1）*（M+1），如果N=2*X*X，那么就有可能满足关系， ...


谢谢指教还有，N*（N+1）应该是指所有门牌数总和吧，那么2*（M+1）*（M+1）是代表神马含义，能否指点一下？我还是有点糊里糊涂的。X=12时，N=288，M+1=204即为解？
xiaolinmk2004 发表于 2012-7-5 20:50
谢谢指教还有，N*（N+1）应该是指所有门牌数总和吧，那么2*（M+1）*（M+1）是代表神马含义，能否 ...

总数是N*（N+1）/2，朋友家之前的门牌总数是M*（M+1）/2，朋友家之后的门牌总数是N*（N+1）/2 - M*（M+1）/2 - （M+1），M*（M+1）/2 = N*（N+1）/2 - M*（M+1）/2 - （M+1），so
莫谈国是 发表于 2012-7-5 21:25
总数是N*（N+1）/2，朋友家之前的门牌总数是M*（M+1）/2，朋友家之后的门牌总数是N*（N+1）/2 - M*（M+ ...
多谢兄台不吝赐教！
对于初中的小孩子，出这种题目是什么目的？-------------绝对心理变态！！误人子弟！！
可以简单点考虑问题：首先，洛克先生门牌号之后的数字越来越大，之前的数字越来越小
那么，250这个位置是不可能的了。那么，同样可以算一下300，400两个点。结论很快就能得出来了。
给初中的小孩做这种题，也可能考的是发散思维。
各位我给个思路试试（方程也是可也图解的）：
1：首先画个梯形图，上底50，下底左边垂直于上底（左腰垂直），且下底小于等于500。
2：你会直观的看到每增加一个住户横向增加1，纵向也增加1，意味着另一个腰（45度）。
3：在这个梯形中间画条线，观察一下两部分的面积怎么求。



已知他朋友家左边的门牌号相加与右边门牌号相加所得到的结果相等

这句话怎么理解啊？
是想说左边的门牌号所有数字相加的结果等于右边门牌号所有数字相加的结果吗？
还是想说朋友家前面所有的门牌号码加起来的和等于他后面所有的门牌号码加起来的和是相等的？
莫谈国是 发表于 2012-7-5 21:25
总数是N*（N+1）/2，朋友家之前的门牌总数是M*（M+1）/2，朋友家之后的门牌总数是N*（N+1）/2 - M*（M+ ...
那么为何N=2*X*X即可满足整数取值要求？这一步是本题解题关键了。
liuqiship 发表于 2012-7-5 00:57
4楼正解。
但是到2N*N=M*M+M这一步，不借助计算机怎样才能推出N或者M的数值呢？
另外，初中好像还没教到等 ...
奥数本来就不局限于课本内容
我语文学得不好

什么叫左边的门牌号相加与右边门牌号相加所得到的结果相等?

假设左边是99，右边是101。

这话的意思是：99相加与101相加所得到的结果相等？

沉重 发表于 2012-7-5 23:52
各位我给个思路试试（方程也是可也图解的）：
1：首先画个梯形图，上底50，下底左边垂直于上底（左腰垂直） ...


这一思路好，虽然还是算不出应该是几户，但是感到有点眉目了！主要难的是这个三角形里多了个一怎么解决呢

正三角中面积A+1=面积B-1
沉重 发表于 2012-7-5 23:52
各位我给个思路试试（方程也是可也图解的）：
1：首先画个梯形图，上底50，下底左边垂直于上底（左腰垂直） ...


这一思路好，虽然还是算不出应该是几户，但是感到有点眉目了！主要难的是这个三角形里多了个一怎么解决呢

正三角中面积A+1=面积B-1

lnsdy 发表于 2012-7-6 02:27
这一思路好，虽然还是算不出应该是几户，但是感到有点眉目了！主要难的是这个三角形里多了个一怎么解决 ...

   图应该这样画：
   *
   * *
   * * *
   * * * *
   * * * * *
   * * * * * *
   .............................以下省略：
  可知图的面积即是前n项和：
  
   根据三角形边长于面积关系，面积等分点在高的  (根号2)/2处，可得到一个不等式：
    （1）根号2*n<m<根号2*n+根号2   !
   分别用M和N来表示面积，得到一个等式：
    （2） M2+M=2N2+4N+2
   利用韦达定理,把N看成M的系数，则得到第三个条件：
   （3）由于M是整数，得（9+8N2+16N）是个完全平方数，且开方出来的一定是个奇数。
                  
    就是结果，但是笔算还是麻烦，这个一部分靠猜！
     算出N后，带到（1）公式，得到唯一的M.
lnsdy 发表于 2012-7-6 02:27
这一思路好，虽然还是算不出应该是几户，但是感到有点眉目了！主要难的是这个三角形里多了个一怎么解决 ...

   图应该这样画：
   *
   * *
   * * *
   * * * *
   * * * * *
   * * * * * *
   .............................以下省略：
  可知图的面积即是前n项和：
  
   根据三角形边长于面积关系，面积等分点在高的  (根号2)/2处，可得到一个不等式：
    （1）根号2*n<m<根号2*n+根号2   !
   分别用M和N来表示面积，得到一个等式：
    （2） M2+M=2N2+4N+2
   利用韦达定理,把N看成M的系数，则得到第三个条件：
   （3）由于M是整数，得（9+8N2+16N）是个完全平方数，且开方出来的一定是个奇数。
                  
    就是结果，但是笔算还是麻烦，这个一部分靠猜！
     算出N后，带到（1）公式，得到唯一的M.
高人啊！佩服
liuqiship 发表于 2012-7-5 13:57
4楼正解。
但是到2N*N=M*M+M这一步，不借助计算机怎样才能推出N或者M的数值呢？
另外，初中好像还没教到等 ...
奥数很大程度上就是初中生用高中知识做题，小学生用初中知识做题。
怪蜀黍 发表于 2012-7-6 02:13
我语文学得不好

什么叫左边的门牌号相加与右边门牌号相加所得到的结果相等?
比如假定总共有300户，洛克先生朋友家门牌是200（假定，并非最终答案），左边就是1+2+。。。。。。+199，右边就是201+202+。。。。。+300，就是这个意思。
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