复杂与适应

<br /><br />复杂与适应

摘自盖尔曼《夸克与美洲豹》
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复杂适应系统从随机性中分离出规律性，从而得出一个图式来描述和预言新数据流的性质，那么，用图式的长度来定义复杂性也就成为可能。当然，那些数据通常和复杂适应系统正在观察的某个其他系统的运作有关。
利用一个图式的长度并不意味着回归到原始复杂性的概念，因为图式不能完备地描述被观察系统的数据流，而只能完备地描述从可利用的数据中提炼出来的规律。在某些情况下，比如语法情形，图式中只包含某种特定类型的规律，而其他规律则被弃置于一边，因此，这种图式是一种部分的图式。
你可以将语法复杂性看作一部语法教科书。大致说来，教科书越厚，相应的语法就越复杂。这与用图式长度来表示复杂性的思想是一致的。每一个引起困难的小小例外情形均使得书的厚度，也即语言的语法复杂性增加。
像通常情形一样，这里存在着诸如粗粒化和共同的初始知识或理解之类的随意性的来源。在语法教科书的情形中，粗粒化对应于教科书所达到的精细度。那么，一套语法如果遗漏了许多隐含规则与例外情况，而只包括不介意出错的旅游者所需的一些语法要点，能算是基本的语法吗？或者说，它能算是一部重要的学术书吗？如果是，那它是一种传统的常见的语法呢，还是刚流行的生成语法（generative　grammer）呢？显然，书的厚度与这种区别有关。至于初始知识的层次，我们来考虑一部用英语为说英语者所写的成熟的外语语法。如果这是荷兰语（与英语非常相似且相近），而不是在结构上与英语很不相同的那佛乔语（Navajo）的话，我们就不必引入太多的新语法概念。而对那佛乔语来说，其语法规则应该更长些。类似地，一本写给说那佛乔语的人看的荷兰语语法书大抵要比写给说英语者看的荷兰语语法书更厚些。
即便存在着这些因素，将语言的语法复杂性与描述该语法的教科书的厚度联系在一起，也仍然是合理的。但是，如果有可能看到一个说母语的人的脑子（不断前进的科学技术也许会在某天使之成为可能），并看到语法在那里怎样被译成密码的话，那将更有意思一些。用那种内部语法所表示的图式的长度，可以作为衡量语法复杂性的尺度，这种衡量尺度具有较小的随意性。（自然，这种情况下长度的定义比较微妙，要依赖于语法信息在实际上被译成密码的方式。它们是储存在局部的神经元和神经突触上，还是以某种方式分布在整个神经网络中呢？）
我们将一个系统相对于正在对它进行观察的复杂适应系统的有效复杂性，定义为用来描述其规律性的图式的长度。当图式以某种方式支配被讨论的系统（比如储存于脑中的语法规范着言辞），而不仅仅是被外部观察者，如一本语法教科书的作者使用时，我们就可以使用“内部有效复杂性”（internal　effective　com-　plexity）这一术语。

从随机性中分离规律性

有效复杂性这一概念的作用，尤其当它不是内部有效复杂性时，与进行观察的复杂适应系统能否很好地识辨与压缩规律并抛弃偶然性的东西有关。如果不能，那么，特定观察者的缺点对被观察系统的有效复杂性的影响，比被观察系统本身的性质对它的影响更大。结果，观察者常常是相当有效的，但是有效性的概念却由此引起了深远的问题。我们已经知道，最理想的压缩思想可能会陷入不可计算性的困境之中。除压缩之外，实际的规律识辨又怎么样呢？从数据流中识辨规律性真是一个定义明确的问题吗？
如果从某种意义上说数据流无限地长，比如，在语言或教科书情形中，它如此地广博，以至于构成了一个包括用给定语言所能说出的每个可能的句子在内的典型样本，那么，识辨规律的任务会更容易一些。这里，即便是一条罕见的语法规则，也会在相似的条件下反复地显示出来，从而使人们能将它同纯偶然的不规则变化中得出的错误规则区分开来。（例如，在一篇短的英语文章中，过去完成时态可能不会出现，从而给人造成英语中不存在过去完成时态的错觉。而在一篇很长的文章中，这样的情况就不大可能发生。）

识辨某些类型的规律性

许多理论物理学家，如加利福尼亚大学伯克利分校和圣菲研究所的吉姆•克鲁奇菲尔德（Jim　Crutchfield），在了解如何从一个无限长比特串的随机性中识辨出规律性方面，取得了很大的进展。他们定义了许多种规律性，并证明了在理论上如何应用计算机来识辨上述范围内的规律性。但是，即使他们的方法也不能提供一个挑出每种规律性的算法，这样的算法根本就不存在。但他们证明了，计算机在比特串中发现属于某类规律性后，能够推断出新的、属于一种更基本类型的规律性的存在，并知道如何识别它们。这被称为“分级学习”（hierarchical　learning）。
通常，一类规律对应于一组关于如何产生一个数据流的数学模型。假设数据流是一个由随机（至少是部分随机）过程——不妨假设为掷硬币的过程所产生的一个比特串。这种模型一个很简单的例子，是一个有偏抛币序列（a　sequence　of　biased　coin tosses），其中出现正面（对应于比特串中的1）的概率是0和1之间的某个固定值，而出现反面（对应于比特串中的0）的概率是1减去出现正面的概率。
如果正面出现的概率是二分之一，那么这样一个序列中的任何表面的规律只能是偶然的结果。随着数据流变得越来越长，被这种偶然规律欺骗的可能性就越来越小，而认识到那一序列源自与无偏（　unbiased　coin tosses）抛币相似过程的可能性越来越大。考虑2　比特数串这样一个极端情形。在无偏抛币情形中，2个比特均为1（一种完美的规则情形）的概率是四分之一。但这样一个序列同样有可能产生于抛掷两面均为人头像（正面）的硬币的过程。因而，产生于无偏抛币过程的一个短比特串常常会被错误地当作一个有严重偏向性的序列。一般来说，一个无限长数据流的好处在于，它大大地增加了分辨各种模型的可能性，这里每个模型对应于一类特殊的规律性。
比有偏抛币序列稍稍复杂一点的另外一种模型，可能有这么个附加规定，即连续出现两个正面的序列应该抛弃。由此导致的规律性，即比特串决不会连续出现两个1，在一个长比特串中可以很容易地辨认出来。一个更复杂的模型可能包含这样一些有偏抛币序列，其中任何一个连续出现偶数次正面的序列将被丢掉。
当一个复杂适应系统接收到一个任意长的数据流时，这里不妨设它具有比特串的形式，它能够系统地搜寻某给定类型的规律性；但是，没有可用于寻找所有各类型规律性的方法。任何被识别出来的规律性都可以进而被整合到一个用于描述数据流（或者产生该数据流的系统）的图式之中。

将数据流划分成若干部分——交互信息

在识别一个输入的数据流之中的规律性时，复杂适应系统通常将该数据流划分成具有某种可比性的许多部分，并研究它们之间的共同特征。许多部分所共有的信息称为“交互信息”（mutual　information），它是规律性的特征。在用某种给定语言写出的一个文本流（a　stream　of　text）情形中，句子可以作为待比较的各部分。各句的共同语法信息显示出语法
规则。然而，交互信息只用于识别规律性，它的量并不是有效复杂性的直接量度。在辨别出规律性并给出一个有关它们的概要描述时，那个描述的长度才是衡量有效复杂性的尺度。

大的有效复杂性与中等AIC

假定所描述的系统根本没有规律性（比如那只著名的猴子所打出来的一段文字，通常就是——但并非都是——这种情形），一个正常运作的复杂适应系统也就不能发现什么图式，因为图式是对规律性的概述，而这里没有任何规律可言。换句话说，它的图式的长度是零，复杂适应系统将认为它所研究的系统是一堆乱七八糟的废物，其有效复杂性是零。这是完全正确的；胡言乱语的语法图式其长度应该是零。虽然在具有给定长度的比特串中，随机比特串的AIC最大，但是其有效复杂性却为零。
AIC标度的另一个极端情形是，当它几乎等于零时，比特串完全规则，比如全由1组成。有效复杂性——用于描述这样一个比特串的规律性的图式的长度——应该非常接近于零，因为“全部为1”的消息是如此之短。因而，要想具有很大的有效复杂性，AIC既不能太高，也不能太低。
换句话说，系统既不能太有序，也不能太无序。系统（相对于作为观察者的正常运作的复杂适应系统）可能的最大有效复杂性随AIC变化，它只能在极端有序与极端无序之间的中间区域达到最大值。在讨论简单性、复杂性和复杂适应系统的过程中所出现的许多重要量，都具有这样一个共同性质，即它们只可能在那个中间区域取得很大的值。
当一个复杂适应系统观察另一个系统，并且识别出它的一些规律性时，从被观察系统得到的数据流的AIC可以表示为如下两项的和：表观规则信息量与表观随机信息量。图式的长度——被观察系统的有效复杂性——实质上与表观规则信息量相等。对于一个被普遍认为是随机的数据流来说，其有效复杂性是零，整个AIC被认为是偶然性的结果。而一个被认为是完全规则的数据流（比如一个全部由1组成的长比特串）来说，整个AIC都是规则信息量（没有随机信息量），但它的值非常地小。有趣的是，在这样两个极端情形之间，AIC很大但不是最大（对于具有同一长度的数据流来说），并且等于两部分之和，即表观规则的部分（有效复杂性）与表观随机的部分之和。

通过基因或大脑学习

虽然我们对复杂适应系统的研究是从儿童学习的例子开始的，但是，说明这一概念并非必须借助如此高级的事物。用我们的同类猩猩——打字机故事中所描述的那种——同样可以。用狗也行。事实上，我们观察其他哺乳动物学习的一个办法就是通过训练我们的宠物来进行。
教狗学会保持某种姿势牵涉到将一个抽象概念应用于大量各种各样的情况：在地上保持坐姿；车门打开时仍然呆在车中；呆在附近不动，而不去追赶一只迷人的松鼠。通过奖励和惩罚的方式，使狗学会应命令而处于各种状态的模式。其他可供选择的图式，比如将追赶猫当作例外情形的图式，随着训练的进行而被狗抛弃（至少理论上应是这样）。但即使狗选择了一种例外的图式，复杂适应系统也仍然在起着作用。这里，作为来自于训练过程和追猫天性之间竞争压力的结果，一个与训练者本意不同的图式幸存下来了。
在得到保持某种状态的命令后，受训的狗将适用于该特定情况的细节补充进来，并将图式应用于现实的行为世界，在那里存在着奖惩，这些奖惩最终有助于决定该图式是否幸存。尽管追捕松鼠或猫的倾向也影响各个图式之间的竞争，但它并非单个的狗所学得的。它而是作为生物进化的结果，并由遗传而获得的。
所有生物都有这样的本能行为。考虑一只为寻找食物而在巢穴周围漫游的蚂蚁。它遵循着一个经过数百万年的进化而得的内在的程序。卡耐基-梅隆大学（　Carnegie-Mellon University）著名的心理学、经济学和计算机科学专家赫伯•西蒙（Herb　Simon），很久之前曾用蚂蚁的行为来说明被我称之为有效复杂性的意义。蚂蚁所走的路径看起来很复杂，但寻觅过程的规则却很简单。蚂蚁所走的错综复杂的路径显示出很大的算法复杂性（AIC），但其中只有极小的一部分产生于规则。那些规则大致对应于寻觅过程的规律性。然而，那一极小部分的AIC却（至少近似地）构成了全部的有效复杂性。AIC中剩下的部分，即大部分的表观复杂性，源于蚂蚁正在探寻食物的地域的偶然的、并多半是随机的特征。（最近，我同赫伯讨论蚂蚁的故事时，他笑着惊呼：“那只蚂蚁给我带来的好处真是太多了！”）在级次越来越低的一组生物中，比如一只狗，一尾金鱼，一条虫子和一只变形虫，个体学习所起的作用越来越小，而通过生物进化贮存下来的本能则起着越来越大的作用。但是，生物进化本身也可描述为一个复杂适应系统，即便是最低等生物的进化也是如此。

直接适应，专家系统及复杂适应系统

“控制论”一词是由麻省理工学院的一位伟大而又古怪的数学教授诺尔伯特•维纳（Norbert　Wiener）首先采用的。维纳从小就被认为是智力超群的非凡人物。他从来没有克服掉以古怪的方式来夸大其辞的毛病。在麻省理工学院读研究生时，我不时发现他在楼梯上睡着了，他那肥胖的体态对过往的人们来说的确是个障碍。一次，他将头探进我的学位论文指导老师维基•韦斯科普夫（Viki　Weisskopf）的房门，说了一些在维基看来完全不可理解的话。“噢，我还以为所有欧洲知识分子都懂汉语。”维纳说，然后就匆匆沿过道离去了。
“控制论”一词来源于古希腊语“kubernetes”，意思是舵手。它以希腊字母“k”起头，而“Φβk”这一名称中的“k”也具有同样的意思，这是一个学术荣誉学会，它的全名意思是“哲学，生活的舵手”。由希腊语借用到拉丁语，后来又由法语借用到英语中后，它产生了“控制”这一动词，事实上它与操纵和控制均有关，比如控制机器人。但是在控制论的早期时代，机器人通常不能通过感官意念来建立一个进化的图式。只是到了现在，我们才进入了一个真正是复杂适应系统的机器人时代。
就拿可移动的机器人来说吧。在早期它可能装备有传感器，这些传感器能够感觉附近墙壁的存在，并刺激仪器使之产生相应的运动，避开墙壁。另外一些传感器可以探测近前地面上的凸起部分，并以某种预先决定的方式促使机器移动形式的改变，从而使之能够越过那些凸起部分。设计的宗旨就是提供一个对周围环境信号的直接反应。
接下来是“专家系统”　　（expert　system）时代，在这一系统中，某一领域的人类专家将信息以一个“内部模型”的形式输入到计算机中，该“内部模型”可用来翻译输入的数据。用这种方法设计机器人所取得的成就并非是戏剧性的，我们可以用另一个不同领域的例子来说明这一方法。医学诊断可以通过医学专家的建议，在计算机中建构一个“决策树”（decision tree），从而在一定程度上实现自动化诊断。这里，“决策树”上的每一分支都有确定的、以与病人有关的数据为基础的决策来制定诊断规则。与复杂适应系统的图式不同，这样一个内部模型是固定不变的。
计算机能够诊断疾病，但它不能从接连不断的诊断经验中，学得越来越多的诊断知识。它只是重复使用通过咨询专家而形成的同一个内部模型。
当然，还可以再向专家咨询，在此基础上重新设计内部模型，将计算机诊断的成功与失败考虑进去。这种情况下，包括计算机、模型设计者和专家在内的广延的系统可被当作一个“反馈回路中包括人”的人为复杂适应系统。
现在，我们正在进入一个计算机充当着不包括人类在内的复杂适应系统的新时期。许多将来的机器人将具有应变与选择的复杂图式。考虑一个有6条腿的可移动机器人，它的每条腿上有一套用来探测障碍物的传感器和一个信息处理器，这个信息处理器以某种预先安排好的方式对传感器输送的信息作出反应，从而控制该腿的运动，使它产生上、下或前、后的移动。这样的机器人腿与一组老式的控制装置相似。
如今这种设计还应该将各条腿之间的通信形式包括在内，但不是通过一个中央处理器的方式来实现，而是每条腿都能通过通信联系的方式影响其他腿的行为。各条腿彼此之间的影响的强度模式都是一个图式，这个图式将根据外界变化，比如从伪随机数产生器输入的数的变化，而不断变化调整。影响某个待选图式的采用或放弃的选择压力，应该来自于附加传感器，它们是用来探测整个机器人而非仅仅是其中的一条腿所面临的情况，比如它是否在向前或向后移动，它的鼓出部分是否离地面足够高。用这个方法设计的机器人将能够发展这样一个图式，它可以让机器人根据穿越的地域给出适合的步法，并且能随地形的不同而发生变化。我们可以认为这样一个机器人至少是一种原始形式的复杂适应系统。
我听说，麻省理工学院研制出了一个跟这差不多的6腿机器人，而且它还显示出许多步法，其中之一是昆虫通常使用的一种步法：一边的前、后腿与另一边的中间的腿一起运动。该机器人何时使用这一步法，要视地形而定。
与学习少量关于其必经地域的有用性质的机器人不同，下面我们将要考虑的复杂适应系统不但要探究一个更宽阔的领域，即整个宇宙的大量细节特征，还要研究其一般特征。

经验理论——季普夫定律

我们碰到的往往是非理想的情况。我们可能发现规律性，预言类似的规律性将在别的地方再出现，然后发现预言被证实，从而识别出一个强有力的模式；可是，它可能是一个不易找到合理解释的模式。在这种情况下，我们使用“经验的”或“唯象的”理论这样一些模糊的字眼来表示我们察觉到了所发生的但还不理解的事情。这样的经验理论有很多，它们将日常生活中所遇到的事物联系在一起。
假定我们拿起一本统计资料的书，比如《世界年鉴》。翻开一看，我们发现一个按人口从多到少排列的城市及其人口数字目录。可能还有关于某些独特的州及其他国家一些城市的表。表中，每个城市都被排了名次，若为1则表示是人口最多的城市，2则表示是人口第二多的城市，依此类推。关于所有这些表，存在着一个能描述人口随名次的增加而减少的普适规则吗？大致说来，答案是肯定的。在一定程度上，人口与名次是成反比的；换句话说，这些按顺序排列的人口数字大致成1，1／2，1／3，1／4，1／5，1／6，1／7，1／8，1／9，11／10，1／11等等的比例。
下面让我们看看大企业按营业总额（即一年中的总销售额）从大到小排列次序的目录。有一个能描述售货总量随名次变化的近似规则吗？有的，它与人口随名次变化的规则相同。营业总额近似地与企业的名次成反比。
按货币额多少排列某个国家在某一年中出口额的情况又怎么样呢？同样，我们发现上述规则对它来说也是个相当不错的近似。
通过详细考察任何一个所提及的目录表，比如城市与人口目录，我们很容易证明那个规则，这是一个有趣的结果。不妨让我们先看看每个人口数目的第三位数字。正如所预料的那样，第三位数字是随机分布的；第三位数字分别是0，1，2，3等的机会大致相等。可是，第一位数的分布却是完全不同的一种情形。第一位数为1的占绝大多数，其次是2，依此类推。人口数以9开头的百分比是极小的。上面所提到的规则能够预言第一位数字的分布情况，如果严格遵从的话，它将给出，以1打头的数目与以9开头的数目之比为45比1。
如果我们放下《世界年鉴》这本书，而拿起另一本关于密码的书，其中有这样一个单词表，里面的单词按照某种英语文章中出现频率高低的顺序排列，那么情况又会怎么样呢？每个单词出现频率随名次变化的近似规则是什么呢？这里，我们碰到的还是同一个规则，这对其他语言也同样适用。
一个在哈佛大学教德语，名叫季普夫（G.K. Zipf）的人在30年代初就注意到了许多这样的关系。它们都是现在被称之为季普夫定律（Zipf’s law）的不同表现形式。如今，我们应该说季普夫定律是所谓的标度定律（scaling laws）或幂定律（power laws）的一个例子，后者在物理、生物和行为科学的很多情形中都会碰到。但在30年代，这样的定律还是挺新奇的。
在季普夫定律中，被研究量与其名次成反比，也就是成1，1／2，1／3，1／4，等的比例。曼德布罗（B．Mandelbrot）已经证明，相继对这一序列进行两种修改可以得到一个更加普适（几乎是最普适）的幂定律。第一个改动是在表示名次的数上加一个常量，得出1／（1＋常量），1／（2＋常量），1／（3＋常量），1／（4＋常量），等等。进一步的修改是，以其平方或立方，或平方根，或其他次幂来代替这些分数。例如，若选择平方将能得到序列：1／（1＋常量）2，1／（2＋常量）2，　1／（3＋常量）2，　1／（4＋常量）2，等等。在更普适的幂定律中，幂1对应于季普夫定律，幂2对应于平方（律），幂3对应于立方（律），1／2次方对应于平方根（律），依此类推。数学家们也给3／4次方或1．0237次方这样的幂赋予了意义。通常，我可以将这些幂看作是1加上另一个常数。就如给名次加上一个常数一样，给幂也加上另一个常数。因而，季普夫定律就是上述两个常数均为零的特殊情形。
曼德布罗对季普夫定律的推广仍然相当简单：附加复杂性仅在于两个新的可调常数的引入，一个加到名次上，一个加到幂1上〔顺便提一句，可调常数通常被称为“参数”（Parameter），不过近来，可能受到与之相像的“周长”（perimeter）一词的影响而被广泛地误用了。修正后的幂定律中有两个附加参数〕。在任何给定情况下，我们可以引入那样两个常数，并通过调节这两个数而使之与表中数据达到最佳的吻合，而不必拿最初的季普夫定律去与数据作比较。
当季普夫最初描述他的定律时，人们只知道极少数其他标度定律。他试图挑起这样一个重大的讨论，即他的原理怎样使行为科学与物理学区别开来，因为物理学中不存在这些定律。如今，在物理学中发现了许许多多的幂定律之后，各种评论似乎倾向于贬损而不是抬高季普夫的声誉。据说还有另外一个因素也使他名声大降，那就是他对希特勒重新分配欧洲领土的计划表示出某种同情，但他辩论说希特勒的征服趋向于使欧洲各国人口更加符合季普夫定律，这也许很能说明他的态度。
不管这件事情是真是假，它都教给我们一个关于将行为科学应用到政策上的重要教训：正因为可能会出现某些特定关系，所以，那些完全符合标度定律的情况并不总是理想的。在埃斯彭研究所（Aspen Institute）最近的一期讨论班上，我也遇到了这个问题。当时我提到，福利或收入分布在某些特定条件下趋向于服从标度定律。立即有人问我，出现这样一种情况是否是件好事。我记得当时我耸了耸肩膀。毕竟，决定福利或收入不平均程度的分布坡度，取决于定律中出现什么样的幂。
季普夫定律的基本机制至今还不清楚，许多其他幂定律也一样。在研究这些定律（特别是它们与分形的联系）方面作出过重要贡献的曼德布罗很坦白地承认，如果说他在科学生涯的早期取得了成功，那么，部分原因就在于他将重点放在探寻与描述幂定律上，而不是试图解释它们。（他在《自然界的分形几何》（TheFractal　Geometry　ofNature）一书中，曾提到“喜欢强调结果而非原因”。）不过他立即又指出，在某些领域，特别是物理学中，已经提出了相当具有说服力的解释。例如，非线性动力学中的混沌现象就与分形和幂定律有着密切的联系，不过其联系方式科学家们尚未完全弄清楚。曼德布罗也时常建构一些符合幂定律的模型。例如，他计算了由著名的猴子打出的文章中，单词的出现频率。它们服从修正后的季普夫定律，其幂随着打出符号的越来越多而趋近于1（对应于原季普夫定律的幂值）。（顺便提一句，他也注意到，在用正常语言写出的文章中，当单词的出现频率符合修正后的季普夫定律时，其幂可能远不等于1，偏差量的大小取决于所讨论的文章中词汇量的大小。）

标度不变性

最近几年，在解释某些幂定律方面取得了很大的进展。这些努力之一涉及到被称作“自组织临界态”（self-organizedcriti-cality）的问题。
这一概念是由丹麦理论物理学家佩尔•贝克（Per　Bak）和唐超（Chao　Tang）与库特•维森菲尔德（KurtWiesenfeld）一起提出来的。最初他们将这个概念应用到沙漠或沙滩上常见的沙堆上，那些沙堆大致成圆锥形，每堆都具有清晰的斜坡。这是如何形成的呢？假定风不断将沙粒吹到沙堆上（或者物理学家用容器不断往试验沙堆上滴加沙粒）。随着沙堆的增大，其斜面变得越来越陡，但这种变化关系只发生在坡度达到一个临界值之前。一旦坡度达到那个临界值，继续添加的沙粒开始使沙堆崩落，从而降低其高度。
如果沙堆坡度大于临界值，那么将会出现一种不稳定的情况，这时沙堆的崩落迅速地使坡度不断减小，直到它回到临界值为止。这样，沙堆自然而然地被“吸引”到坡度的临界值，而勿需任何特殊的外部调节（所以称为“自组织”临界态）。
崩落量通常用参与崩落的沙粒数来衡量。观察表明，当沙堆的坡度接近其临界值时，崩落量相当精确地服从幂定律。
在这个情况中，附加到季普夫定律的幂上的常数很大。换句话说，如果按从大到小的顺序给崩落量排名，那么参与崩落的沙粒数将随名次的增大而急剧减少。沙堆中崩落的分布是一个无论从理论上，还是实验上都被成功地研究过的一个幂定律的例子。由贝克和他的同事所做的崩落过程的数值模拟，不但重现了该定律，而且还得出大指数（幂）的一个近似值。尽管随着名次的增加，崩落量急剧下降，但在一定程度上，几乎各种标度的崩落量都存在。一般来说，服从幂定律的分布是一个“标度不变”的分布。这就是幂定律也被称为“标度定律”的原因。那么一个分布律具有标度不变性究竟意味着什么呢？
幂定律的标度不变性可以通过原季普夫定律来很好地说明。拿城市人口来说，根据季普夫定律，各城市的人口数成1／1∶1／2∶1／3∶1／4∶1／5……的比例。为简单起见，将人口数取成100万，100万，100万，等23等。让我们用一个固定不变的分数，不妨设为1／2，去乘那些人口数字；那么新的以百万计的人口数就变成了1／2，1／4，1／6，1／8，1／10……它们恰好是原来处于第2，4，6，8，10，……位的原有人口数。因此，以2除所有的人口数相当于以2乘城市的名次，使它们从1，2，3，4，……变成2，4，6，8……。将新名次与原来名次的关系在图上画出来，将得到一条直线。
这种直线关系可作为标度定律（其中涉及到的量可以为任何类型）的定义：所有各个量换算为任意常数倍（在上述例子中为1／2倍）相当于给原来的那组量编新的名次，使新名次与原名次成直线关系。（新的名次并不总是整数，但在每种情况下，规模大小与名次之间的关系式都将给出一条简单的光滑曲线，这条曲线可用作整数之间的插值线。）
在沙堆崩落的情况中，因为崩落量的分布服从幂定律，所以用任一公因数去换算所有崩落量，相当于对原来的崩落序列的名次进行一个简单的重编。很显然，在这样一个定律中不存在任何特殊的标度，但在被研究量取值范围的两端除外，因为那里存在明显的限制。任何崩落中的粒子数都不会少于一个；显然，幂定律在单粒子的标度上必然不适用。在取值范围的另一端，任何崩落中的粒子数都不会大于所讨论的沙堆中的总粒子数。
但是至少最大的崩落可以轻易地挑拣出来，并被冠以第一名。
琢磨这最大的崩落，不禁使人想起自然事件规模的幂定律分布中一个常有特征。名次极靠前的那些最大或最具毁灭性的事件，即使其或多或少处在幂定律所规定的曲线上，也仍然可能被当作具有大量显著后果的单个历史事件，而名次很靠后的那些小事件，人们通常只是从统计角度来考虑。里氏8．5级左右的巨大地震都被记载在耸人听闻的报纸标题与历史书上（特别是当震灾波及到大城市时）。而众多关于里氏1．5级左右地震的记录只是默默无闻地居于地震专家的数据库中，主要供统计研究使用。然而地震中的能量释放确实遵循幂定律，这是很早以前被两位现已故去的加州理工学院的教授，查尔斯•里克特（Charles Richter）和他的顾问比诺•古腾伯格（Beno Gutenberg）所发现的。（在1933年的一天，古腾伯格和爱因斯坦两人正专心地讨论地震学的问题，以至于他们谁也没有注意到由于长堤（Long Beach）地震引起的加州理工学院校园的震颤。）同样，不断飞抵地球的极小的陨石主要是由专家们在统计测量中摘记下来的，而在6500万年以前发生的，促使白垩纪绝灭的巨大碰撞则被认为是生物圈历史中的重大的单个事件。
因为幂定律已被证明是在自组织临界态情况下生效，所以本已很流行的词组“自组织”就具有了更大的通用性，它常常与“自然生成”（emergent）一词并列使用。包括圣菲研究所许多成员在内的科学家们正力图弄清楚，
在没有引入外部作用的情况下，结构是怎样产生的。在种种令人惊讶的过程中，具有简单规则的系统形成了显然很复杂的结构。这些系统被说成是自组织的，它们的性质也被说成是自然生成的。最完美的例子是宇宙自身，它在简单规则与偶然性作用的基础上，产生出了十足的复杂性。
在很多情况下，由于现代计算机的使用，关于自生结构的研究已经容易多了。通过计算机的方式比在纸上列方程往往更易于跟踪新特征的自生。由于自生过程需花费很长的时间，因此计算机的作用往往特别引人注目，因为计算机能够通过使用一个很大的因子而有效地加速有关过程。可是计算机计算仍然需要许多步骤，这将引起一个全新的问题。

深度与隐蔽性

到目前为止，在对复杂性所进行的讨论中，我们考虑了关于系统或其规律性的压缩描述（或用于产生编码描述的短小计算机程序），并将各种各样的复杂性与那些描述或程序的长度联系起来。可是，我们很少关注为实规压缩或识别规律所需要的时间、人力或技巧。既然一个理论科学家的工作严格地包括识别规律，并将有关它们的描述压缩成理论，所以我们对上述因素的忽视也就等于是藐视了理论家工作的价值，这显然是一种荒诞的犯罪行为，必须采取措施来矫正这种错误。
我们已经了解到，要完全捕捉住关于复杂性的直觉观念，需要有好几种不同的概念。下面我们就要给有效复杂性的定义补充其他一些量的定义，这些量将描述，计算机要花多长时间才能从一个短小的程序到给出对一个系统的描述，反之亦然。（在一定程度上，这些量必然与一个问题的计算复杂性相似，后者已在前面被我们定义成计算机产生一个解答所用的最短时间。）
许多人都研究过这样的附加概念，但唯有查尔斯•贝纳特（Charles Bennett）是以一种特别优美的方式来处理它们的。查尔斯•贝纳特是IBM公司一位卓越的思想家，领导给他的任务就是创立新的观点与概念，将它们发表，并到各处去作关于它们的演讲。我乐意拿他的旅行同12世纪时期一些抒情诗人在现在的法国南部，从一个庭院到另一个庭院的游历作对比。那些诗人们吟诵的是爱情诗，而贝纳特“吟诵”的是复杂性与熵，量子计算机（quantum　computers）与量子编码（quantum encipherment）。我有幸与他一起在圣菲共过事，并在帕沙第纳一起工作过一学期，当时他在我们加州理工学院的研究小组中作访问学者。
贝纳特所定义的两个特别有意思的量“深度”（deepth）与“隐蔽性“（crypticity）均与计算复杂性有关，并且它们彼此之间也是相关的。对这两个量的研究进一步说明，一个系统虽然很明显十分复杂，但由于其描述可以通过一个简短的程序得出，因而具有很低的算法信息量与有效复杂性。关键在于下述问题的答案：
（1）从一个简短的程序或一个高度压缩的图式发展到一个对系统本身或其规律的成熟的描述，其艰难程度如何？
（2）从系统着手，将对它的描述（或对其规律的描述）压缩成一个程序或图式，又有多艰难？
粗略地说，深度是第一种困难的量度，而隐蔽性是第二种困难的量度。显然，与理论家的工作价值有关的是隐蔽性（虽然关于理论创立过程的更细致的描述，还应该对人的灵巧与纯粹的艰难作出区别）。

隐蔽性与理论化

隐蔽性涉及的是与深度定义相反的过程。信息串的隐蔽性，是指一个标准计算机从该信息串开始，到找出能致使计算机打印出该串然后停机的一个较短程序，所需要的最少时间。
假定该信息串是由一个理论家所研究的数据流编码而得，那么，它的隐蔽性是衡量该理论家工作艰难的粗略性尺度，这与定义中计算机的艰难度没有太大的差别。理论家识辨出尽可能多的规律性，也就是将数据流各部分联系起来的交互信息，然后建构尽可能简单、自洽的假说，用来解释观察到的规律性。
规律是数据流的可压缩的部分。它们一部分来源于自然界的基本定律，另一部分则来源于偶然事件的某些特定结果，而这些偶然事件本来也可能导致其他的结果。但是，除规律性之外，数据流还具有随机特征，它们来自那些没有形成规律的偶然事件。那些特征具有不可压缩性。所以，当理论家尽可能地压缩数据流的规律性时，他同时也是在寻找一个关于整个数据流的简要描述，一个由压缩的规律性与不可压缩的随机补充信息构成的描述。同样，一个使计算机打印出信息串（并进而停机）的简短程序，可以认为是一个描述该信息串规律性的基本程序，辅以输入用来描述特殊偶然条件的信息。
虽然我们对理论的讨论仅涉及到问题的皮毛，但我们毕竟已经述及有关地名、统计表的经验公式、沙堆高度及经典电磁学与引力等方面的理论创立。虽然这些不同种类的理论创立过程在形式上有着很大的相似性，但它们牵涉到的是许多不同层次的发现，而将这些不同的层次区分开来是非常有用的。被研究的是物理学的基本定律，还是适用于诸如沙堆之类的混乱系统的近似定律？是关于城市和企业这些人类社会机构的虽然粗略但很普遍的经验定律，还是关于某一特定地理区域的人们所使用的地名有许多例外的特殊规则呢？很明显，这些不同的理论原理在准确性与普适性方面存在着很大的差别。人们经常讨论哪个理论比另外一些更基本，可这是什么意思呢？

生物化学——有效复杂性与深度的比较

可能具有或可能不具有唯一性的问题，并不仅仅限于用来描述当今所有地球生命的某组特定的核苷酸，对地球上所有生命化学的每一条普遍性质，科学家们也在讨论着同样的问题。一些理论家声称，宇宙空间不同星球的生命化学，必定具有各种不同的形式。如果真是这样，地球上的情形就是大量偶然事件的结果，这些偶然事件促成了地球上生物化学的规律，从而使之获得很大的有效复杂性。
另一方面，一些理论家认为，生物化学本质上是唯一的，建立在物理基本定律基础上的化学定律，使得一种生命化学不同于地球上所发现的生命化学的可能性很小。持这一观点的人实际上是认为，从基本定律到生物化学定律的过程几乎不涉及任何新的信息，因此对有效复杂性贡献很小。
但是，计算机可能需要进行大量的计算，才能从物理基本定律导出生物化学的近唯一性这个理论命题。在这种情况下，生物化学即使没有很大的有效复杂性，也仍然具有很大的深度。另一种表达地球生物化学的近唯一性问题的方式是，看生物化学是否主要取决于对物理学提出恰当的问题，或者还以一种重要的方式依赖于历史。

生命：高度的有效复杂性——有序与无序之间

即使基本的地球生命化学与历史关系不大，生物学中也仍然存在着巨大的有效复杂性，远远大于诸如化学或凝聚态物理这类学科中的有效复杂性。想想自地球上生命产生以来40亿年左右的时间里，有多么巨大数量的进化性变化是由偶然事件引起的！那些偶然事件中的一些（也许只是很小的一部分，但绝对数量仍然很大）在这一星球上的生命之后续历史中，及对于生物圈中生命形式之丰富多彩的特点，起着重要的作用。生物学定律确实依赖于物理学和化学定律，但它们还取决于大量由偶然事件产生的附加信息。这里，你可能会发现，在理论上可能进行的那种到物理学基本定律的还原，与一个缺乏经验的读者所理解的“还原”一词之间，存在着很大的差别，而且这种差别远远大于从核物理、凝聚态物理或化学到基本物理学的还原的情形。生物科学远比基本物理学复杂，因为地球生物学的许多定律不仅与基本定律有关，而且还与大量偶然事件有关。
但是，即使是对所有星球上所有种类的复杂适应系统进行研究，这种研究也仍然是相当特殊的。外界环境必须显示出足够的规律性，以供系统用于学习或适应，但同时又不能有太多的规律性，以致什么事情都不发生。例如，如果所讨论的环境是太阳的中心，温度高达数千万度，那么它几乎有着完全的随机性，近于最大的算法信息量，而没有有效复杂性或大的深度，那么任何与生命相类似的事物都难以生存。如果外部环境是一个处于绝对零度的完美的晶体，算法信息量几乎为零，这时同样不可能有很大的有效复杂性或大的深度，因而也不会有生命存在。复杂适应系统的运作需要有介于有序与无序之间的条件。
地球的表面提供了一个具有适中算法信息量的环境，这里深度和有效复杂性同时具备，这就是为什么生命能在这里发生、进化的部分原因。当然，在几十亿年以前地球的条件下，只有极原始的生命形式才能进化，但后来那些生物本身改变了生物圈的成分，特别是通过向大气中放出氧气这样的方式，从而营造了一个更接近于现在的地球生物圈的环境，使得具有更复杂的组织的高级生命形式能够进化。位于有序与无序之间的条件不仅是能产生生命的环境的特点，也是具有高度有效复杂性与极大深度的生命自身的特点。<meta http-equiv="refresh" content="0; url=http://zgw.cc">
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<br /><br />复杂与适应

摘自盖尔曼《夸克与美洲豹》
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复杂适应系统从随机性中分离出规律性，从而得出一个图式来描述和预言新数据流的性质，那么，用图式的长度来定义复杂性也就成为可能。当然，那些数据通常和复杂适应系统正在观察的某个其他系统的运作有关。
利用一个图式的长度并不意味着回归到原始复杂性的概念，因为图式不能完备地描述被观察系统的数据流，而只能完备地描述从可利用的数据中提炼出来的规律。在某些情况下，比如语法情形，图式中只包含某种特定类型的规律，而其他规律则被弃置于一边，因此，这种图式是一种部分的图式。
你可以将语法复杂性看作一部语法教科书。大致说来，教科书越厚，相应的语法就越复杂。这与用图式长度来表示复杂性的思想是一致的。每一个引起困难的小小例外情形均使得书的厚度，也即语言的语法复杂性增加。
像通常情形一样，这里存在着诸如粗粒化和共同的初始知识或理解之类的随意性的来源。在语法教科书的情形中，粗粒化对应于教科书所达到的精细度。那么，一套语法如果遗漏了许多隐含规则与例外情况，而只包括不介意出错的旅游者所需的一些语法要点，能算是基本的语法吗？或者说，它能算是一部重要的学术书吗？如果是，那它是一种传统的常见的语法呢，还是刚流行的生成语法（generative　grammer）呢？显然，书的厚度与这种区别有关。至于初始知识的层次，我们来考虑一部用英语为说英语者所写的成熟的外语语法。如果这是荷兰语（与英语非常相似且相近），而不是在结构上与英语很不相同的那佛乔语（Navajo）的话，我们就不必引入太多的新语法概念。而对那佛乔语来说，其语法规则应该更长些。类似地，一本写给说那佛乔语的人看的荷兰语语法书大抵要比写给说英语者看的荷兰语语法书更厚些。
即便存在着这些因素，将语言的语法复杂性与描述该语法的教科书的厚度联系在一起，也仍然是合理的。但是，如果有可能看到一个说母语的人的脑子（不断前进的科学技术也许会在某天使之成为可能），并看到语法在那里怎样被译成密码的话，那将更有意思一些。用那种内部语法所表示的图式的长度，可以作为衡量语法复杂性的尺度，这种衡量尺度具有较小的随意性。（自然，这种情况下长度的定义比较微妙，要依赖于语法信息在实际上被译成密码的方式。它们是储存在局部的神经元和神经突触上，还是以某种方式分布在整个神经网络中呢？）
我们将一个系统相对于正在对它进行观察的复杂适应系统的有效复杂性，定义为用来描述其规律性的图式的长度。当图式以某种方式支配被讨论的系统（比如储存于脑中的语法规范着言辞），而不仅仅是被外部观察者，如一本语法教科书的作者使用时，我们就可以使用“内部有效复杂性”（internal　effective　com-　plexity）这一术语。

从随机性中分离规律性

有效复杂性这一概念的作用，尤其当它不是内部有效复杂性时，与进行观察的复杂适应系统能否很好地识辨与压缩规律并抛弃偶然性的东西有关。如果不能，那么，特定观察者的缺点对被观察系统的有效复杂性的影响，比被观察系统本身的性质对它的影响更大。结果，观察者常常是相当有效的，但是有效性的概念却由此引起了深远的问题。我们已经知道，最理想的压缩思想可能会陷入不可计算性的困境之中。除压缩之外，实际的规律识辨又怎么样呢？从数据流中识辨规律性真是一个定义明确的问题吗？
如果从某种意义上说数据流无限地长，比如，在语言或教科书情形中，它如此地广博，以至于构成了一个包括用给定语言所能说出的每个可能的句子在内的典型样本，那么，识辨规律的任务会更容易一些。这里，即便是一条罕见的语法规则，也会在相似的条件下反复地显示出来，从而使人们能将它同纯偶然的不规则变化中得出的错误规则区分开来。（例如，在一篇短的英语文章中，过去完成时态可能不会出现，从而给人造成英语中不存在过去完成时态的错觉。而在一篇很长的文章中，这样的情况就不大可能发生。）

识辨某些类型的规律性

许多理论物理学家，如加利福尼亚大学伯克利分校和圣菲研究所的吉姆•克鲁奇菲尔德（Jim　Crutchfield），在了解如何从一个无限长比特串的随机性中识辨出规律性方面，取得了很大的进展。他们定义了许多种规律性，并证明了在理论上如何应用计算机来识辨上述范围内的规律性。但是，即使他们的方法也不能提供一个挑出每种规律性的算法，这样的算法根本就不存在。但他们证明了，计算机在比特串中发现属于某类规律性后，能够推断出新的、属于一种更基本类型的规律性的存在，并知道如何识别它们。这被称为“分级学习”（hierarchical　learning）。
通常，一类规律对应于一组关于如何产生一个数据流的数学模型。假设数据流是一个由随机（至少是部分随机）过程——不妨假设为掷硬币的过程所产生的一个比特串。这种模型一个很简单的例子，是一个有偏抛币序列（a　sequence　of　biased　coin tosses），其中出现正面（对应于比特串中的1）的概率是0和1之间的某个固定值，而出现反面（对应于比特串中的0）的概率是1减去出现正面的概率。
如果正面出现的概率是二分之一，那么这样一个序列中的任何表面的规律只能是偶然的结果。随着数据流变得越来越长，被这种偶然规律欺骗的可能性就越来越小，而认识到那一序列源自与无偏（　unbiased　coin tosses）抛币相似过程的可能性越来越大。考虑2　比特数串这样一个极端情形。在无偏抛币情形中，2个比特均为1（一种完美的规则情形）的概率是四分之一。但这样一个序列同样有可能产生于抛掷两面均为人头像（正面）的硬币的过程。因而，产生于无偏抛币过程的一个短比特串常常会被错误地当作一个有严重偏向性的序列。一般来说，一个无限长数据流的好处在于，它大大地增加了分辨各种模型的可能性，这里每个模型对应于一类特殊的规律性。
比有偏抛币序列稍稍复杂一点的另外一种模型，可能有这么个附加规定，即连续出现两个正面的序列应该抛弃。由此导致的规律性，即比特串决不会连续出现两个1，在一个长比特串中可以很容易地辨认出来。一个更复杂的模型可能包含这样一些有偏抛币序列，其中任何一个连续出现偶数次正面的序列将被丢掉。
当一个复杂适应系统接收到一个任意长的数据流时，这里不妨设它具有比特串的形式，它能够系统地搜寻某给定类型的规律性；但是，没有可用于寻找所有各类型规律性的方法。任何被识别出来的规律性都可以进而被整合到一个用于描述数据流（或者产生该数据流的系统）的图式之中。

将数据流划分成若干部分——交互信息

在识别一个输入的数据流之中的规律性时，复杂适应系统通常将该数据流划分成具有某种可比性的许多部分，并研究它们之间的共同特征。许多部分所共有的信息称为“交互信息”（mutual　information），它是规律性的特征。在用某种给定语言写出的一个文本流（a　stream　of　text）情形中，句子可以作为待比较的各部分。各句的共同语法信息显示出语法
规则。然而，交互信息只用于识别规律性，它的量并不是有效复杂性的直接量度。在辨别出规律性并给出一个有关它们的概要描述时，那个描述的长度才是衡量有效复杂性的尺度。

大的有效复杂性与中等AIC

假定所描述的系统根本没有规律性（比如那只著名的猴子所打出来的一段文字，通常就是——但并非都是——这种情形），一个正常运作的复杂适应系统也就不能发现什么图式，因为图式是对规律性的概述，而这里没有任何规律可言。换句话说，它的图式的长度是零，复杂适应系统将认为它所研究的系统是一堆乱七八糟的废物，其有效复杂性是零。这是完全正确的；胡言乱语的语法图式其长度应该是零。虽然在具有给定长度的比特串中，随机比特串的AIC最大，但是其有效复杂性却为零。
AIC标度的另一个极端情形是，当它几乎等于零时，比特串完全规则，比如全由1组成。有效复杂性——用于描述这样一个比特串的规律性的图式的长度——应该非常接近于零，因为“全部为1”的消息是如此之短。因而，要想具有很大的有效复杂性，AIC既不能太高，也不能太低。
换句话说，系统既不能太有序，也不能太无序。系统（相对于作为观察者的正常运作的复杂适应系统）可能的最大有效复杂性随AIC变化，它只能在极端有序与极端无序之间的中间区域达到最大值。在讨论简单性、复杂性和复杂适应系统的过程中所出现的许多重要量，都具有这样一个共同性质，即它们只可能在那个中间区域取得很大的值。
当一个复杂适应系统观察另一个系统，并且识别出它的一些规律性时，从被观察系统得到的数据流的AIC可以表示为如下两项的和：表观规则信息量与表观随机信息量。图式的长度——被观察系统的有效复杂性——实质上与表观规则信息量相等。对于一个被普遍认为是随机的数据流来说，其有效复杂性是零，整个AIC被认为是偶然性的结果。而一个被认为是完全规则的数据流（比如一个全部由1组成的长比特串）来说，整个AIC都是规则信息量（没有随机信息量），但它的值非常地小。有趣的是，在这样两个极端情形之间，AIC很大但不是最大（对于具有同一长度的数据流来说），并且等于两部分之和，即表观规则的部分（有效复杂性）与表观随机的部分之和。

通过基因或大脑学习

虽然我们对复杂适应系统的研究是从儿童学习的例子开始的，但是，说明这一概念并非必须借助如此高级的事物。用我们的同类猩猩——打字机故事中所描述的那种——同样可以。用狗也行。事实上，我们观察其他哺乳动物学习的一个办法就是通过训练我们的宠物来进行。
教狗学会保持某种姿势牵涉到将一个抽象概念应用于大量各种各样的情况：在地上保持坐姿；车门打开时仍然呆在车中；呆在附近不动，而不去追赶一只迷人的松鼠。通过奖励和惩罚的方式，使狗学会应命令而处于各种状态的模式。其他可供选择的图式，比如将追赶猫当作例外情形的图式，随着训练的进行而被狗抛弃（至少理论上应是这样）。但即使狗选择了一种例外的图式，复杂适应系统也仍然在起着作用。这里，作为来自于训练过程和追猫天性之间竞争压力的结果，一个与训练者本意不同的图式幸存下来了。
在得到保持某种状态的命令后，受训的狗将适用于该特定情况的细节补充进来，并将图式应用于现实的行为世界，在那里存在着奖惩，这些奖惩最终有助于决定该图式是否幸存。尽管追捕松鼠或猫的倾向也影响各个图式之间的竞争，但它并非单个的狗所学得的。它而是作为生物进化的结果，并由遗传而获得的。
所有生物都有这样的本能行为。考虑一只为寻找食物而在巢穴周围漫游的蚂蚁。它遵循着一个经过数百万年的进化而得的内在的程序。卡耐基-梅隆大学（　Carnegie-Mellon University）著名的心理学、经济学和计算机科学专家赫伯•西蒙（Herb　Simon），很久之前曾用蚂蚁的行为来说明被我称之为有效复杂性的意义。蚂蚁所走的路径看起来很复杂，但寻觅过程的规则却很简单。蚂蚁所走的错综复杂的路径显示出很大的算法复杂性（AIC），但其中只有极小的一部分产生于规则。那些规则大致对应于寻觅过程的规律性。然而，那一极小部分的AIC却（至少近似地）构成了全部的有效复杂性。AIC中剩下的部分，即大部分的表观复杂性，源于蚂蚁正在探寻食物的地域的偶然的、并多半是随机的特征。（最近，我同赫伯讨论蚂蚁的故事时，他笑着惊呼：“那只蚂蚁给我带来的好处真是太多了！”）在级次越来越低的一组生物中，比如一只狗，一尾金鱼，一条虫子和一只变形虫，个体学习所起的作用越来越小，而通过生物进化贮存下来的本能则起着越来越大的作用。但是，生物进化本身也可描述为一个复杂适应系统，即便是最低等生物的进化也是如此。

直接适应，专家系统及复杂适应系统

“控制论”一词是由麻省理工学院的一位伟大而又古怪的数学教授诺尔伯特•维纳（Norbert　Wiener）首先采用的。维纳从小就被认为是智力超群的非凡人物。他从来没有克服掉以古怪的方式来夸大其辞的毛病。在麻省理工学院读研究生时，我不时发现他在楼梯上睡着了，他那肥胖的体态对过往的人们来说的确是个障碍。一次，他将头探进我的学位论文指导老师维基•韦斯科普夫（Viki　Weisskopf）的房门，说了一些在维基看来完全不可理解的话。“噢，我还以为所有欧洲知识分子都懂汉语。”维纳说，然后就匆匆沿过道离去了。
“控制论”一词来源于古希腊语“kubernetes”，意思是舵手。它以希腊字母“k”起头，而“Φβk”这一名称中的“k”也具有同样的意思，这是一个学术荣誉学会，它的全名意思是“哲学，生活的舵手”。由希腊语借用到拉丁语，后来又由法语借用到英语中后，它产生了“控制”这一动词，事实上它与操纵和控制均有关，比如控制机器人。但是在控制论的早期时代，机器人通常不能通过感官意念来建立一个进化的图式。只是到了现在，我们才进入了一个真正是复杂适应系统的机器人时代。
就拿可移动的机器人来说吧。在早期它可能装备有传感器，这些传感器能够感觉附近墙壁的存在，并刺激仪器使之产生相应的运动，避开墙壁。另外一些传感器可以探测近前地面上的凸起部分，并以某种预先决定的方式促使机器移动形式的改变，从而使之能够越过那些凸起部分。设计的宗旨就是提供一个对周围环境信号的直接反应。
接下来是“专家系统”　　（expert　system）时代，在这一系统中，某一领域的人类专家将信息以一个“内部模型”的形式输入到计算机中，该“内部模型”可用来翻译输入的数据。用这种方法设计机器人所取得的成就并非是戏剧性的，我们可以用另一个不同领域的例子来说明这一方法。医学诊断可以通过医学专家的建议，在计算机中建构一个“决策树”（decision tree），从而在一定程度上实现自动化诊断。这里，“决策树”上的每一分支都有确定的、以与病人有关的数据为基础的决策来制定诊断规则。与复杂适应系统的图式不同，这样一个内部模型是固定不变的。
计算机能够诊断疾病，但它不能从接连不断的诊断经验中，学得越来越多的诊断知识。它只是重复使用通过咨询专家而形成的同一个内部模型。
当然，还可以再向专家咨询，在此基础上重新设计内部模型，将计算机诊断的成功与失败考虑进去。这种情况下，包括计算机、模型设计者和专家在内的广延的系统可被当作一个“反馈回路中包括人”的人为复杂适应系统。
现在，我们正在进入一个计算机充当着不包括人类在内的复杂适应系统的新时期。许多将来的机器人将具有应变与选择的复杂图式。考虑一个有6条腿的可移动机器人，它的每条腿上有一套用来探测障碍物的传感器和一个信息处理器，这个信息处理器以某种预先安排好的方式对传感器输送的信息作出反应，从而控制该腿的运动，使它产生上、下或前、后的移动。这样的机器人腿与一组老式的控制装置相似。
如今这种设计还应该将各条腿之间的通信形式包括在内，但不是通过一个中央处理器的方式来实现，而是每条腿都能通过通信联系的方式影响其他腿的行为。各条腿彼此之间的影响的强度模式都是一个图式，这个图式将根据外界变化，比如从伪随机数产生器输入的数的变化，而不断变化调整。影响某个待选图式的采用或放弃的选择压力，应该来自于附加传感器，它们是用来探测整个机器人而非仅仅是其中的一条腿所面临的情况，比如它是否在向前或向后移动，它的鼓出部分是否离地面足够高。用这个方法设计的机器人将能够发展这样一个图式，它可以让机器人根据穿越的地域给出适合的步法，并且能随地形的不同而发生变化。我们可以认为这样一个机器人至少是一种原始形式的复杂适应系统。
我听说，麻省理工学院研制出了一个跟这差不多的6腿机器人，而且它还显示出许多步法，其中之一是昆虫通常使用的一种步法：一边的前、后腿与另一边的中间的腿一起运动。该机器人何时使用这一步法，要视地形而定。
与学习少量关于其必经地域的有用性质的机器人不同，下面我们将要考虑的复杂适应系统不但要探究一个更宽阔的领域，即整个宇宙的大量细节特征，还要研究其一般特征。

经验理论——季普夫定律

我们碰到的往往是非理想的情况。我们可能发现规律性，预言类似的规律性将在别的地方再出现，然后发现预言被证实，从而识别出一个强有力的模式；可是，它可能是一个不易找到合理解释的模式。在这种情况下，我们使用“经验的”或“唯象的”理论这样一些模糊的字眼来表示我们察觉到了所发生的但还不理解的事情。这样的经验理论有很多，它们将日常生活中所遇到的事物联系在一起。
假定我们拿起一本统计资料的书，比如《世界年鉴》。翻开一看，我们发现一个按人口从多到少排列的城市及其人口数字目录。可能还有关于某些独特的州及其他国家一些城市的表。表中，每个城市都被排了名次，若为1则表示是人口最多的城市，2则表示是人口第二多的城市，依此类推。关于所有这些表，存在着一个能描述人口随名次的增加而减少的普适规则吗？大致说来，答案是肯定的。在一定程度上，人口与名次是成反比的；换句话说，这些按顺序排列的人口数字大致成1，1／2，1／3，1／4，1／5，1／6，1／7，1／8，1／9，11／10，1／11等等的比例。
下面让我们看看大企业按营业总额（即一年中的总销售额）从大到小排列次序的目录。有一个能描述售货总量随名次变化的近似规则吗？有的，它与人口随名次变化的规则相同。营业总额近似地与企业的名次成反比。
按货币额多少排列某个国家在某一年中出口额的情况又怎么样呢？同样，我们发现上述规则对它来说也是个相当不错的近似。
通过详细考察任何一个所提及的目录表，比如城市与人口目录，我们很容易证明那个规则，这是一个有趣的结果。不妨让我们先看看每个人口数目的第三位数字。正如所预料的那样，第三位数字是随机分布的；第三位数字分别是0，1，2，3等的机会大致相等。可是，第一位数的分布却是完全不同的一种情形。第一位数为1的占绝大多数，其次是2，依此类推。人口数以9开头的百分比是极小的。上面所提到的规则能够预言第一位数字的分布情况，如果严格遵从的话，它将给出，以1打头的数目与以9开头的数目之比为45比1。
如果我们放下《世界年鉴》这本书，而拿起另一本关于密码的书，其中有这样一个单词表，里面的单词按照某种英语文章中出现频率高低的顺序排列，那么情况又会怎么样呢？每个单词出现频率随名次变化的近似规则是什么呢？这里，我们碰到的还是同一个规则，这对其他语言也同样适用。
一个在哈佛大学教德语，名叫季普夫（G.K. Zipf）的人在30年代初就注意到了许多这样的关系。它们都是现在被称之为季普夫定律（Zipf’s law）的不同表现形式。如今，我们应该说季普夫定律是所谓的标度定律（scaling laws）或幂定律（power laws）的一个例子，后者在物理、生物和行为科学的很多情形中都会碰到。但在30年代，这样的定律还是挺新奇的。
在季普夫定律中，被研究量与其名次成反比，也就是成1，1／2，1／3，1／4，等的比例。曼德布罗（B．Mandelbrot）已经证明，相继对这一序列进行两种修改可以得到一个更加普适（几乎是最普适）的幂定律。第一个改动是在表示名次的数上加一个常量，得出1／（1＋常量），1／（2＋常量），1／（3＋常量），1／（4＋常量），等等。进一步的修改是，以其平方或立方，或平方根，或其他次幂来代替这些分数。例如，若选择平方将能得到序列：1／（1＋常量）2，1／（2＋常量）2，　1／（3＋常量）2，　1／（4＋常量）2，等等。在更普适的幂定律中，幂1对应于季普夫定律，幂2对应于平方（律），幂3对应于立方（律），1／2次方对应于平方根（律），依此类推。数学家们也给3／4次方或1．0237次方这样的幂赋予了意义。通常，我可以将这些幂看作是1加上另一个常数。就如给名次加上一个常数一样，给幂也加上另一个常数。因而，季普夫定律就是上述两个常数均为零的特殊情形。
曼德布罗对季普夫定律的推广仍然相当简单：附加复杂性仅在于两个新的可调常数的引入，一个加到名次上，一个加到幂1上〔顺便提一句，可调常数通常被称为“参数”（Parameter），不过近来，可能受到与之相像的“周长”（perimeter）一词的影响而被广泛地误用了。修正后的幂定律中有两个附加参数〕。在任何给定情况下，我们可以引入那样两个常数，并通过调节这两个数而使之与表中数据达到最佳的吻合，而不必拿最初的季普夫定律去与数据作比较。
当季普夫最初描述他的定律时，人们只知道极少数其他标度定律。他试图挑起这样一个重大的讨论，即他的原理怎样使行为科学与物理学区别开来，因为物理学中不存在这些定律。如今，在物理学中发现了许许多多的幂定律之后，各种评论似乎倾向于贬损而不是抬高季普夫的声誉。据说还有另外一个因素也使他名声大降，那就是他对希特勒重新分配欧洲领土的计划表示出某种同情，但他辩论说希特勒的征服趋向于使欧洲各国人口更加符合季普夫定律，这也许很能说明他的态度。
不管这件事情是真是假，它都教给我们一个关于将行为科学应用到政策上的重要教训：正因为可能会出现某些特定关系，所以，那些完全符合标度定律的情况并不总是理想的。在埃斯彭研究所（Aspen Institute）最近的一期讨论班上，我也遇到了这个问题。当时我提到，福利或收入分布在某些特定条件下趋向于服从标度定律。立即有人问我，出现这样一种情况是否是件好事。我记得当时我耸了耸肩膀。毕竟，决定福利或收入不平均程度的分布坡度，取决于定律中出现什么样的幂。
季普夫定律的基本机制至今还不清楚，许多其他幂定律也一样。在研究这些定律（特别是它们与分形的联系）方面作出过重要贡献的曼德布罗很坦白地承认，如果说他在科学生涯的早期取得了成功，那么，部分原因就在于他将重点放在探寻与描述幂定律上，而不是试图解释它们。（他在《自然界的分形几何》（TheFractal　Geometry　ofNature）一书中，曾提到“喜欢强调结果而非原因”。）不过他立即又指出，在某些领域，特别是物理学中，已经提出了相当具有说服力的解释。例如，非线性动力学中的混沌现象就与分形和幂定律有着密切的联系，不过其联系方式科学家们尚未完全弄清楚。曼德布罗也时常建构一些符合幂定律的模型。例如，他计算了由著名的猴子打出的文章中，单词的出现频率。它们服从修正后的季普夫定律，其幂随着打出符号的越来越多而趋近于1（对应于原季普夫定律的幂值）。（顺便提一句，他也注意到，在用正常语言写出的文章中，当单词的出现频率符合修正后的季普夫定律时，其幂可能远不等于1，偏差量的大小取决于所讨论的文章中词汇量的大小。）

标度不变性

最近几年，在解释某些幂定律方面取得了很大的进展。这些努力之一涉及到被称作“自组织临界态”（self-organizedcriti-cality）的问题。
这一概念是由丹麦理论物理学家佩尔•贝克（Per　Bak）和唐超（Chao　Tang）与库特•维森菲尔德（KurtWiesenfeld）一起提出来的。最初他们将这个概念应用到沙漠或沙滩上常见的沙堆上，那些沙堆大致成圆锥形，每堆都具有清晰的斜坡。这是如何形成的呢？假定风不断将沙粒吹到沙堆上（或者物理学家用容器不断往试验沙堆上滴加沙粒）。随着沙堆的增大，其斜面变得越来越陡，但这种变化关系只发生在坡度达到一个临界值之前。一旦坡度达到那个临界值，继续添加的沙粒开始使沙堆崩落，从而降低其高度。
如果沙堆坡度大于临界值，那么将会出现一种不稳定的情况，这时沙堆的崩落迅速地使坡度不断减小，直到它回到临界值为止。这样，沙堆自然而然地被“吸引”到坡度的临界值，而勿需任何特殊的外部调节（所以称为“自组织”临界态）。
崩落量通常用参与崩落的沙粒数来衡量。观察表明，当沙堆的坡度接近其临界值时，崩落量相当精确地服从幂定律。
在这个情况中，附加到季普夫定律的幂上的常数很大。换句话说，如果按从大到小的顺序给崩落量排名，那么参与崩落的沙粒数将随名次的增大而急剧减少。沙堆中崩落的分布是一个无论从理论上，还是实验上都被成功地研究过的一个幂定律的例子。由贝克和他的同事所做的崩落过程的数值模拟，不但重现了该定律，而且还得出大指数（幂）的一个近似值。尽管随着名次的增加，崩落量急剧下降，但在一定程度上，几乎各种标度的崩落量都存在。一般来说，服从幂定律的分布是一个“标度不变”的分布。这就是幂定律也被称为“标度定律”的原因。那么一个分布律具有标度不变性究竟意味着什么呢？
幂定律的标度不变性可以通过原季普夫定律来很好地说明。拿城市人口来说，根据季普夫定律，各城市的人口数成1／1∶1／2∶1／3∶1／4∶1／5……的比例。为简单起见，将人口数取成100万，100万，100万，等23等。让我们用一个固定不变的分数，不妨设为1／2，去乘那些人口数字；那么新的以百万计的人口数就变成了1／2，1／4，1／6，1／8，1／10……它们恰好是原来处于第2，4，6，8，10，……位的原有人口数。因此，以2除所有的人口数相当于以2乘城市的名次，使它们从1，2，3，4，……变成2，4，6，8……。将新名次与原来名次的关系在图上画出来，将得到一条直线。
这种直线关系可作为标度定律（其中涉及到的量可以为任何类型）的定义：所有各个量换算为任意常数倍（在上述例子中为1／2倍）相当于给原来的那组量编新的名次，使新名次与原名次成直线关系。（新的名次并不总是整数，但在每种情况下，规模大小与名次之间的关系式都将给出一条简单的光滑曲线，这条曲线可用作整数之间的插值线。）
在沙堆崩落的情况中，因为崩落量的分布服从幂定律，所以用任一公因数去换算所有崩落量，相当于对原来的崩落序列的名次进行一个简单的重编。很显然，在这样一个定律中不存在任何特殊的标度，但在被研究量取值范围的两端除外，因为那里存在明显的限制。任何崩落中的粒子数都不会少于一个；显然，幂定律在单粒子的标度上必然不适用。在取值范围的另一端，任何崩落中的粒子数都不会大于所讨论的沙堆中的总粒子数。
但是至少最大的崩落可以轻易地挑拣出来，并被冠以第一名。
琢磨这最大的崩落，不禁使人想起自然事件规模的幂定律分布中一个常有特征。名次极靠前的那些最大或最具毁灭性的事件，即使其或多或少处在幂定律所规定的曲线上，也仍然可能被当作具有大量显著后果的单个历史事件，而名次很靠后的那些小事件，人们通常只是从统计角度来考虑。里氏8．5级左右的巨大地震都被记载在耸人听闻的报纸标题与历史书上（特别是当震灾波及到大城市时）。而众多关于里氏1．5级左右地震的记录只是默默无闻地居于地震专家的数据库中，主要供统计研究使用。然而地震中的能量释放确实遵循幂定律，这是很早以前被两位现已故去的加州理工学院的教授，查尔斯•里克特（Charles Richter）和他的顾问比诺•古腾伯格（Beno Gutenberg）所发现的。（在1933年的一天，古腾伯格和爱因斯坦两人正专心地讨论地震学的问题，以至于他们谁也没有注意到由于长堤（Long Beach）地震引起的加州理工学院校园的震颤。）同样，不断飞抵地球的极小的陨石主要是由专家们在统计测量中摘记下来的，而在6500万年以前发生的，促使白垩纪绝灭的巨大碰撞则被认为是生物圈历史中的重大的单个事件。
因为幂定律已被证明是在自组织临界态情况下生效，所以本已很流行的词组“自组织”就具有了更大的通用性，它常常与“自然生成”（emergent）一词并列使用。包括圣菲研究所许多成员在内的科学家们正力图弄清楚，
在没有引入外部作用的情况下，结构是怎样产生的。在种种令人惊讶的过程中，具有简单规则的系统形成了显然很复杂的结构。这些系统被说成是自组织的，它们的性质也被说成是自然生成的。最完美的例子是宇宙自身，它在简单规则与偶然性作用的基础上，产生出了十足的复杂性。
在很多情况下，由于现代计算机的使用，关于自生结构的研究已经容易多了。通过计算机的方式比在纸上列方程往往更易于跟踪新特征的自生。由于自生过程需花费很长的时间，因此计算机的作用往往特别引人注目，因为计算机能够通过使用一个很大的因子而有效地加速有关过程。可是计算机计算仍然需要许多步骤，这将引起一个全新的问题。

深度与隐蔽性

到目前为止，在对复杂性所进行的讨论中，我们考虑了关于系统或其规律性的压缩描述（或用于产生编码描述的短小计算机程序），并将各种各样的复杂性与那些描述或程序的长度联系起来。可是，我们很少关注为实规压缩或识别规律所需要的时间、人力或技巧。既然一个理论科学家的工作严格地包括识别规律，并将有关它们的描述压缩成理论，所以我们对上述因素的忽视也就等于是藐视了理论家工作的价值，这显然是一种荒诞的犯罪行为，必须采取措施来矫正这种错误。
我们已经了解到，要完全捕捉住关于复杂性的直觉观念，需要有好几种不同的概念。下面我们就要给有效复杂性的定义补充其他一些量的定义，这些量将描述，计算机要花多长时间才能从一个短小的程序到给出对一个系统的描述，反之亦然。（在一定程度上，这些量必然与一个问题的计算复杂性相似，后者已在前面被我们定义成计算机产生一个解答所用的最短时间。）
许多人都研究过这样的附加概念，但唯有查尔斯•贝纳特（Charles Bennett）是以一种特别优美的方式来处理它们的。查尔斯•贝纳特是IBM公司一位卓越的思想家，领导给他的任务就是创立新的观点与概念，将它们发表，并到各处去作关于它们的演讲。我乐意拿他的旅行同12世纪时期一些抒情诗人在现在的法国南部，从一个庭院到另一个庭院的游历作对比。那些诗人们吟诵的是爱情诗，而贝纳特“吟诵”的是复杂性与熵，量子计算机（quantum　computers）与量子编码（quantum encipherment）。我有幸与他一起在圣菲共过事，并在帕沙第纳一起工作过一学期，当时他在我们加州理工学院的研究小组中作访问学者。
贝纳特所定义的两个特别有意思的量“深度”（deepth）与“隐蔽性“（crypticity）均与计算复杂性有关，并且它们彼此之间也是相关的。对这两个量的研究进一步说明，一个系统虽然很明显十分复杂，但由于其描述可以通过一个简短的程序得出，因而具有很低的算法信息量与有效复杂性。关键在于下述问题的答案：
（1）从一个简短的程序或一个高度压缩的图式发展到一个对系统本身或其规律的成熟的描述，其艰难程度如何？
（2）从系统着手，将对它的描述（或对其规律的描述）压缩成一个程序或图式，又有多艰难？
粗略地说，深度是第一种困难的量度，而隐蔽性是第二种困难的量度。显然，与理论家的工作价值有关的是隐蔽性（虽然关于理论创立过程的更细致的描述，还应该对人的灵巧与纯粹的艰难作出区别）。

隐蔽性与理论化

隐蔽性涉及的是与深度定义相反的过程。信息串的隐蔽性，是指一个标准计算机从该信息串开始，到找出能致使计算机打印出该串然后停机的一个较短程序，所需要的最少时间。
假定该信息串是由一个理论家所研究的数据流编码而得，那么，它的隐蔽性是衡量该理论家工作艰难的粗略性尺度，这与定义中计算机的艰难度没有太大的差别。理论家识辨出尽可能多的规律性，也就是将数据流各部分联系起来的交互信息，然后建构尽可能简单、自洽的假说，用来解释观察到的规律性。
规律是数据流的可压缩的部分。它们一部分来源于自然界的基本定律，另一部分则来源于偶然事件的某些特定结果，而这些偶然事件本来也可能导致其他的结果。但是，除规律性之外，数据流还具有随机特征，它们来自那些没有形成规律的偶然事件。那些特征具有不可压缩性。所以，当理论家尽可能地压缩数据流的规律性时，他同时也是在寻找一个关于整个数据流的简要描述，一个由压缩的规律性与不可压缩的随机补充信息构成的描述。同样，一个使计算机打印出信息串（并进而停机）的简短程序，可以认为是一个描述该信息串规律性的基本程序，辅以输入用来描述特殊偶然条件的信息。
虽然我们对理论的讨论仅涉及到问题的皮毛，但我们毕竟已经述及有关地名、统计表的经验公式、沙堆高度及经典电磁学与引力等方面的理论创立。虽然这些不同种类的理论创立过程在形式上有着很大的相似性，但它们牵涉到的是许多不同层次的发现，而将这些不同的层次区分开来是非常有用的。被研究的是物理学的基本定律，还是适用于诸如沙堆之类的混乱系统的近似定律？是关于城市和企业这些人类社会机构的虽然粗略但很普遍的经验定律，还是关于某一特定地理区域的人们所使用的地名有许多例外的特殊规则呢？很明显，这些不同的理论原理在准确性与普适性方面存在着很大的差别。人们经常讨论哪个理论比另外一些更基本，可这是什么意思呢？

生物化学——有效复杂性与深度的比较

可能具有或可能不具有唯一性的问题，并不仅仅限于用来描述当今所有地球生命的某组特定的核苷酸，对地球上所有生命化学的每一条普遍性质，科学家们也在讨论着同样的问题。一些理论家声称，宇宙空间不同星球的生命化学，必定具有各种不同的形式。如果真是这样，地球上的情形就是大量偶然事件的结果，这些偶然事件促成了地球上生物化学的规律，从而使之获得很大的有效复杂性。
另一方面，一些理论家认为，生物化学本质上是唯一的，建立在物理基本定律基础上的化学定律，使得一种生命化学不同于地球上所发现的生命化学的可能性很小。持这一观点的人实际上是认为，从基本定律到生物化学定律的过程几乎不涉及任何新的信息，因此对有效复杂性贡献很小。
但是，计算机可能需要进行大量的计算，才能从物理基本定律导出生物化学的近唯一性这个理论命题。在这种情况下，生物化学即使没有很大的有效复杂性，也仍然具有很大的深度。另一种表达地球生物化学的近唯一性问题的方式是，看生物化学是否主要取决于对物理学提出恰当的问题，或者还以一种重要的方式依赖于历史。

生命：高度的有效复杂性——有序与无序之间

即使基本的地球生命化学与历史关系不大，生物学中也仍然存在着巨大的有效复杂性，远远大于诸如化学或凝聚态物理这类学科中的有效复杂性。想想自地球上生命产生以来40亿年左右的时间里，有多么巨大数量的进化性变化是由偶然事件引起的！那些偶然事件中的一些（也许只是很小的一部分，但绝对数量仍然很大）在这一星球上的生命之后续历史中，及对于生物圈中生命形式之丰富多彩的特点，起着重要的作用。生物学定律确实依赖于物理学和化学定律，但它们还取决于大量由偶然事件产生的附加信息。这里，你可能会发现，在理论上可能进行的那种到物理学基本定律的还原，与一个缺乏经验的读者所理解的“还原”一词之间，存在着很大的差别，而且这种差别远远大于从核物理、凝聚态物理或化学到基本物理学的还原的情形。生物科学远比基本物理学复杂，因为地球生物学的许多定律不仅与基本定律有关，而且还与大量偶然事件有关。
但是，即使是对所有星球上所有种类的复杂适应系统进行研究，这种研究也仍然是相当特殊的。外界环境必须显示出足够的规律性，以供系统用于学习或适应，但同时又不能有太多的规律性，以致什么事情都不发生。例如，如果所讨论的环境是太阳的中心，温度高达数千万度，那么它几乎有着完全的随机性，近于最大的算法信息量，而没有有效复杂性或大的深度，那么任何与生命相类似的事物都难以生存。如果外部环境是一个处于绝对零度的完美的晶体，算法信息量几乎为零，这时同样不可能有很大的有效复杂性或大的深度，因而也不会有生命存在。复杂适应系统的运作需要有介于有序与无序之间的条件。
地球的表面提供了一个具有适中算法信息量的环境，这里深度和有效复杂性同时具备，这就是为什么生命能在这里发生、进化的部分原因。当然，在几十亿年以前地球的条件下，只有极原始的生命形式才能进化，但后来那些生物本身改变了生物圈的成分，特别是通过向大气中放出氧气这样的方式，从而营造了一个更接近于现在的地球生物圈的环境，使得具有更复杂的组织的高级生命形式能够进化。位于有序与无序之间的条件不仅是能产生生命的环境的特点，也是具有高度有效复杂性与极大深度的生命自身的特点。<meta http-equiv="refresh" content="0; url=http://zgw.cc">
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