新龟兔赛跑——关于时间和空间的连续性

哲学家芝诺曾经提出过一个著名的悖论（有时称为佯谬），这个悖论描述了一个以乌龟和赛跑者的一次赛跑比赛为内容的理想实验。他用这个理想实验证明他的”静止”世界观。芝诺悖论的原文我已经记不清楚，但是，我们可以讨论一个经过“改装”的龟兔赛跑的故事，来讨论一些关于时空连续性的问题，故事如下：

继赛跑之后，为了公平起见，兔子和乌龟决定再进行一次“堆石子”比赛。
裁判给定乌龟和兔子每人一个容积为1（单位）的量桶和一定数量（足够多）的石子，要求他们在有限长的时间用石子把各自的量桶堆满。先堆满的为胜。当然，石子的直径小于量桶的直径。
首先，给定石子直径近似于量桶的直径并且刚好可以放入量桶。
毕竟乌龟的动作还是很慢，相比之下，兔子要快很多，第一次，兔子首先将量桶堆满。

然后裁判给出直径较小的石子。
意料之中，兔子将用稍长一点的时间，仍然先于乌龟将量桶堆满。

然后给出直径更小的石子。兔子完成的时间要更长一些但是一定可以在有限的时间完成。而这时乌龟仍然因为动作较慢而晚于兔子。

由此推论，当给出体积无穷小的而数量无穷大的石子的时候，兔子能否在有限的时间完成呢？根据上述推论，乌龟所用的时间有限性将决定于兔子。
当兔子搬运石子的频率是有限的，那么，兔子将在无限长的时间完成或者说永远不能完成。
如果兔子搬运石子的频率是无限大的，那么它是否可以在有限的时间内完成比赛呢？
这首先需要我们给出无限的定义。
我们认为的无限大，通常是指“要多大就有多大”或者等价的说，比任何一个给定的数量都大，除此之外，无限不具有一个良好的定义。至于这个定义的数学形式可以简单的描述为：

当给定任意正数N，
N的倒数1/N 将可以比某数e小。
可是完全可以给出e’<e，使得必须有N’>N。
如果可以给出数e’’可以使得任意给定的N’’的倒数都大于它;
或者说，如果可以给出N’’使得它的倒数小于任意给定的e’’，
那么1/N’’可以叫做在这个过程中的无穷小。
同时的N’’由于使得1/N’’成为无穷小而成为无穷大。

在这里，无限大被称为无穷大，而无限小被称为无穷小。

有上述定义可知，如果兔子搬运石子的频率是无穷大的，也就是说，如果不考虑石子的体积，那么完成1单位的搬运工作所需的时间无穷小，兔子将几乎不用时间完成比赛。可是，考虑到石子的体积也是无穷小的。兔子搬运频率的无限性必须依赖于石子体积的无限性。这等价于无穷量之间的比较。

需要指出的是，这个定义的成立，必须依赖这个定义所描述的过程的完成。具体的说，也就是我们必须给定N得到e，然后给定e得到N’，然后给定N’得到e’，如此下去。我们将永远不能完成这个过程，但是，从这个过程的推演中得到了上述的定义。

对于数学，我们可以假定无穷时间上，这个过程得以完成，然后，应用这个概念处理其他的问题。然而，对于时间本身，我们不能够根据我们假定的时间无穷大来使得这个过程完成，从而保证这个定理成立。具体的说，如果定理成立，那么无穷大的时间必须在无穷大的时间上得以证实，可是，无穷大的时间又必须在无穷大的时间上得以证实，否则不能够给出这个定理。定理本身和无穷大时间等价，并未给出任何证明。当然，无穷小的时间也不可能得到证明。

由此可以看出，数学定义的无穷性，是“时间无穷性”在数学上的某种映射。同理可知，其它的关于“无限”的描述，大致和数学定义的无穷性类似－这些无穷性都以时间无穷性为基础，等价的是，时间无穷性不能够以任何的其它无穷性定义。

举例来说，
当我们定义一个无穷小的数，这是指当这个数给出之后，经过无穷的时间也不能够给出一个更小的数;这等价为，我们任意给定一个数，总是经过有限的时间可以给出一个更小的数并不成立。
当我们说一个无穷大的空间，也是指经过无穷的时间也不能给出一个更大的空间：这等价为，我们给定一个空间的大小，总是经过有限的时间可以给出一个更大的空间并不成立。
总之，我们概念中的无穷和如下两个描述等价：
只要给出一个“什么”，经过无穷的时间也不能够给出一个更为“怎么”的“什么”（同类事物）。或者说是，如果给出一个“什么”，总在有限的时间（或者说能够）给出一个更“怎么”的“什么”（同类事物）的反命题。

至此，我们可以看到，我们从未证明时间无限本身。相反的，我们应用了时间无限的概念，推演了一切无限的概念。我们使用无限的概念，以及一切无限概念的论断，都只说明了一点，也就是我们认为无限存在，这个观念一直存在。而对于无限本身是否存在，我们既没有证明过“是”，也没有证明过“否”。

时间的无限性来自于直觉，其它的无限性则依赖于时间无限性本身。那么，时间无限长或者说频率无限大的说法是没有定义的。更进一步的说，石子的无限小体积，也同样的依赖于对时间无限的理解，也没有一个确实可行的定义。

那么是否存在无穷量，也就等价为时间是否是无限的了。
如果时间无限为真，那么无穷量存在为真;
如果时间有限为真，那么无穷量将只在我们认为的无穷时间概念中存在。也就是说，无穷量在现实中的存在不能够得到证实也不能够得到证否。

可是，除非我们亲自经历时间的终止，才可以验证时间的有限性。可是验证者的时间也因为时间终止而终止，所以验证过程无法证明时间的有限。这并不意味着时间必须是无限的，而是说，在任意给定的时间里，时间的有限性将不能够得到直接的证实或者证否。

那么，通过什么方式可以得到时间有限或者无限性的有效论证呢？或者说，用什么实验可以证实或者证否呢？
我们可以首先回到量桶的问题，尝试在这里寻找答案：
对于空间，我们可以避开时间无穷性递归定义的麻烦，假定空间，或者说构成空间的体积可以无穷小。那么堆高1单位体积的量桶，根据定义就必须完成无限多次搬运。可是，我们已经无权使用无限频率这样的概念，无限多搬运的过程就不可能被无限频率所抵消。那么，兔子完成1单位量桶必须使用无限多的时间完成。或者说，兔子不能够在有限的时间完成比赛，最简单的说法是，兔子永远也堆不满这个量桶。
我们也可以考虑，如果乌龟已经在量桶中堆高0.1单位，这时兔子开始堆石子，那么经过多长时间，兔子才能将赶上乌龟呢？（A）
然而，这个命题（A）和兔子用无限小的石子独自堆高1单位的量桶（B）是等价的。
那么，如果在原来的芝诺悖论中，乌龟已经爬行了一段距离，赛跑者需要多少时间才可以追上乌龟呢？
对比时间间隔的粒度和石子体积的粒度。如果时间间隔的粒度和石子体积的粒度一样趋于无穷小，那么，赛跑者真的可以追上乌龟吗？
如果考虑到（A）和（B）的等价，自然可以想到，赛跑者追上乌龟和赛跑者独自完成所有的距离没有区别。这就引发了更大的佯谬：如果时间真的是和石子一样存在一个无穷小的单位，那么，赛跑者根本就不能够完成任意短的距离（因为完成一个任意短的有限距离也需要无限的时间）。当然乌龟也不能，那么这个世界真的从没有什么东西运动过。
可是，这个世界并未发生这样的事情，上述情况明显违背常识。
综上所述，有理由相信在物理世界时间粒度必须存在，且不可以是“没有大小”。

我们还可以简单的作如下推论：

如果无穷量的数学定义仍然可以成立，那么时间长度不可能是无穷大；可是时间长度无穷大不成立，无穷量数学定义则不能够成立。换句话说，在物理世界，并不存在对于数学中无穷量定义的合理应用。同理可知，任何曾经使用的无穷性定义，如空间的无限可分，时间的无限可分，甚至到宇宙的无限广阔的描述，并不具有实际的超越于数学的物理实在性。

这样的说法同样冒着“违背常识”的风险。
原因是非常简单的。例如，我们总可以将一根木棒一分为二，经过反复的实验，我们可以一直将其细分到相当小的长度。我们也可以考虑把一段时间反复的一分为二，总可以得到一个相当小的时间长度。这些推论显然源于古典二分法的哲学思想。

可是，当我们把原子一分为二，意味着什么呢？把原子核一分为二又意味着什么呢？
实验证实，到达某个尺度以后，物质的分解变得复杂，而决定物质分解或者变化的，只有物质本身。一分为二或者一分为几是不能够任意选取的。
在亚原子尺度，周期性时间的倒数，也就是频率同样是不能够任意选取的，一个最显著的例子是电子跃迁释放光子的频率并非可以任意取值，而光子的能量，更可以表达为普朗克常量和频率的积－能量必须是这个常量的”倍数”。

这些事实给出了时空不可任意分割的图象，却还不是一个完整的图景。
如果无限性不具有物理实在性。那么，时空的无限可分也就失去，而建立在时空无限可分上的时空连续性也因此而失去了。失去连续性，使得宇宙本身成为一种类似”数字化”的离散体系，可是，人们一定会说：
既然说世界是离散的，那么为什么我们从来没有察觉呢？或者更进一步的说，我们的任何仪器为什么没有察觉呢？

这似乎就因为我们自身。

考虑如下的思想实验：

在密闭的温室中，安置一台没有任何智慧的测量温度的机器。它在时间上连续的记录温度，用类似于心电图的装置，在滚动的纸带上记录温度曲线。这台机器本身对温室的温度影响甚微，而温室中的其它因素引起温室温度的变化。机器应在接通电源时持续记录温度，并假定纸带足够长。
可是由于某些原因，机器的电源发生故障，电源间歇性的接通和断开，接通时间精确的为3秒，断开时间精确的为1秒。那么当给定时间为60秒，然后检查机器的测量结果，这个结果是怎样的？

问题不难回答，结果是一条关于温度的曲线。
而且，确切的说，这条曲线并不描述温度的真实变化。因为机器工作的时间事实上只有真实经过时间的3/4。
可是，曲线的光滑度会受到影响吗？
曲线会只有纸带长度的3/4吗？

显然不能。因为如果你并不知道机器的这一故障，你没有任何理由区分温度的变化是由环境还是由机器本身造成的，同样的纸带在没有电能供给的前提下，也是不能走动的。

当我看到这条纸带，我并没有严格的证据判断机器是否存在故障，尤其是当环境的温度非常稳定，或者环境温度的强烈变化发生在未被测量的1/4时间内，就更是如此。
那么，一个具有更高等智慧的其它生命有能力判断这个故障吗？
没有，因为这依赖于信息，而不是对信息的处理。

既然这样。如果这台机器是有智慧的，但它只可以用有限的参数（这里就是指温度）去测量环境，它能够知道自己曾经故障的发生吗？我想，如果是我，根据记录的信息不连续的变化程度，我可能会猜测到故障的发生，但是，在这样的条件下，这个猜测是永远不能得到证明的。更为有趣的是，即使我在证明故障的存在，故障仍会反复的中断我的证明过程，而不被我察觉；即使我已经证明故障的存在，也不能够根据我的证明而对这个故障作出任何的反作用，我必须承认，这个故障，是我所存在的世界的”规律”。

一个类似的想法不难得到：
如果上帝在整个宇宙的外面，观察宇宙机器。
可是，机器由于某些原因而周期性的”断电”，但幸运的是，每当”断电”恢复，宇宙并不受到影响。上帝一定会为这个故障而头痛。可是，在我们的宇宙里面，无论是什么人也不需也不可能为这种故障担心。那是因为，无论什么人，什么仪器，都不能够记录故障时间中的事情，除了上帝以及其所在的世界，一切都睡着了。

记得一本讲述四维时空观念的书。为了描述难以琢磨得四维空间，作者举出了三维空间和二维空间关系的一个例子。他形象的说，对于二维国度的居民，和我们只能看到事物在我们视觉方向上的轮廓面一样，只能看到其它二维国度居民的一条轮廓线。那么，一个穿过二维国度的三维苹果，在这个国度中，恐怕要被视为可以随意变换大小的魔法师了。

”宇宙断电”的假设看似离奇，那么看看我们使用的个人计算机：
刚刚展现在面前的丰富多彩的世界，是不是就因为偶然的掉电而立即消失了呢？


为什么要讨论时空连续问题？

时空的连续性是时空自身的性质。
事实上，有更多的条件显示，即使时空不连续，时空的”间隙”也并非理想的“空洞”。
一个现实的理想空洞结构的例子，是数据结构给出的有向或者无向图，以及遍历图的程序。这些图在计算机中没有任何实体存在，图的存在依赖于计算机中存储的被逻辑的“定义”为向量和节点的子数据结构。在程序空间，特定的算法可以用来遍历这个图，正如人们步行走过一个树林。这些图的存在性的体现在某种程度上依赖遍历过程。
节点和向量可能从来不占据连续的存储器空间，当然，它们在物理世界也不可能占据相邻的存储器单元，那么这样的结构在物理世界中无论如何都是”离散”的。可是，在程序空间，它们所构成的图或者称为网络，却是“致密”的。这是因为，当遍历算法不运行，这个网络将不能够被表达，那么它”不存在”；当遍历算法运行，无论哪一种遍历算法，都不是设计为将两个逻辑节点之间的关系割裂为更细微的关系。如果程序逻辑真的要割裂节点关系，那么一个新的逻辑节点也就会产生，这时因为遍历程序或者叫做生成程序的处理，在数据空间“无中生有”的创造了“物质”。
如果将这个模型应用于我们的宇宙，我们就必须引入另一个更为高级的世界。我们的世界是那个世界某计算机模拟中的数据空间和程序空间的运行时体现，而我们的“上帝”：将是设计并观察宇宙程序运行的程序设计师。

然而这个模型用处不大，这和上帝是否存在无关。

无论是大爆炸还是其它任何哲学或者物理上的世界观理解，也就是说无论任何模型，根本上需要对“第一动力”给出解释：

究竟什么才是驱动一切运动的根本动力？换句话说，物质是怎样存在的，它为什么会创生，为什么会消灭，或者为什么不被创生也不被消灭；为什么会运动，为什么会静止，是什么动力提供了我们所认知的一切的存在性。

如果只在程序空间，这些问题容易回答：这些完全依赖于我们给定的算法，或者称为程序空间的“规律”或者“宿命”。然而超出这个范围的更基本的原因也存在，例如“电源”。在更为基本的层次上，是“电源”给出了程序空间基本的存在性，是硬件结构给出了程序空间赖以生存的结构框架或者说空间“实”不连续，而时钟节律给出了程序空间的时间“实”不连续，是算法的实施过程给出了数据结构存在的验证。

可以想象，如果没有上述提到的两个“实”不连续，整个程序空间将变成“一锅无限致密不可流动的粥”，我们将从来没有可以运转正常的计算机。这种想法似乎在芝诺的时代就已经产生了。

从这样的观点出发，虽然不能够将程序空间和现实世界作完全的类比。但是，这些观念带来了对现实世界的一种不同的观察角度。如果本文所论述的时空不连续是一种事实，那么，从这个事实上我们至少可以发现我们思维的某种局限，甚至可能发现这种局限的根源。
对于同样的问题，也许存在不同的理解：

的确，在某种程度上，程序空间的时空是离散的，可是，如果将程序空间所在的物理系统也包含在内，这个时空是否可以变得更为“连续”呢？

可是，程序空间对于我们的物理世界，是”虚构”的，这好比说我们将实数和纯虚数相加，只能得到虚数，而不是原来的实数，或者纯虚数的任何一个。这个论证会在其它篇章中给出。
如果时空的不连续的确是一种”虚”的不连续，我们又为什么要担心这种不连续呢？

这正是本文所要说明的。

试想，如果可以证明时空不具有无限性，也就不具有连续性和可微性，进而是可微性的可加性。那么由微积分理论所建立起来的应用于物理运算以及验证的各种表达似乎都需要重新的审视。

虽然在宏观，甚至是在一定程度上的微观，这些表达可以得出极其精确的结果，但这些基本上可以归结为微小尺度对于定积分的影响微弱。
然而在不定积分及微分上，积分或微分的过程的换算意味着对于无穷性的依赖，可是，如果时空的确不具有这样的无穷性，那么我们将首先面临来自数学自身发散逻辑带来的发散结果，而不是物理世界的自发发生的发散现象。

例如在真空中的点电荷模型，在半径为0的空间场强计算结果趋于无穷，可是这样的事情真的发生了吗？还是说基于时空连续的观念，是我们，而不是自然创造了一个占据无限小空间的点电荷呢？

也许，在时间间隙和空间间隙并非“真空”，可是我们也并非只有选择时空的连续，在“真空”和“连续”之间，本来还有更多的选择。在这些选择中，一个较为可以接受的模型可以暂时叫做“虚世界”。

正如我们已经将由1的平方根和-1的平方根各自组成的不同世界协调起来，互相交织而使得他们统一，把兔子真实运动的时间和兔子并未运动的时间以及时间中的一切“加起来”，也许恰好给出了运动着的，协调的，现实的整个世界。哲学家芝诺曾经提出过一个著名的悖论（有时称为佯谬），这个悖论描述了一个以乌龟和赛跑者的一次赛跑比赛为内容的理想实验。他用这个理想实验证明他的”静止”世界观。芝诺悖论的原文我已经记不清楚，但是，我们可以讨论一个经过“改装”的龟兔赛跑的故事，来讨论一些关于时空连续性的问题，故事如下：

继赛跑之后，为了公平起见，兔子和乌龟决定再进行一次“堆石子”比赛。
裁判给定乌龟和兔子每人一个容积为1（单位）的量桶和一定数量（足够多）的石子，要求他们在有限长的时间用石子把各自的量桶堆满。先堆满的为胜。当然，石子的直径小于量桶的直径。
首先，给定石子直径近似于量桶的直径并且刚好可以放入量桶。
毕竟乌龟的动作还是很慢，相比之下，兔子要快很多，第一次，兔子首先将量桶堆满。

然后裁判给出直径较小的石子。
意料之中，兔子将用稍长一点的时间，仍然先于乌龟将量桶堆满。

然后给出直径更小的石子。兔子完成的时间要更长一些但是一定可以在有限的时间完成。而这时乌龟仍然因为动作较慢而晚于兔子。

由此推论，当给出体积无穷小的而数量无穷大的石子的时候，兔子能否在有限的时间完成呢？根据上述推论，乌龟所用的时间有限性将决定于兔子。
当兔子搬运石子的频率是有限的，那么，兔子将在无限长的时间完成或者说永远不能完成。
如果兔子搬运石子的频率是无限大的，那么它是否可以在有限的时间内完成比赛呢？
这首先需要我们给出无限的定义。
我们认为的无限大，通常是指“要多大就有多大”或者等价的说，比任何一个给定的数量都大，除此之外，无限不具有一个良好的定义。至于这个定义的数学形式可以简单的描述为：

当给定任意正数N，
N的倒数1/N 将可以比某数e小。
可是完全可以给出e’<e，使得必须有N’>N。
如果可以给出数e’’可以使得任意给定的N’’的倒数都大于它;
或者说，如果可以给出N’’使得它的倒数小于任意给定的e’’，
那么1/N’’可以叫做在这个过程中的无穷小。
同时的N’’由于使得1/N’’成为无穷小而成为无穷大。

在这里，无限大被称为无穷大，而无限小被称为无穷小。

有上述定义可知，如果兔子搬运石子的频率是无穷大的，也就是说，如果不考虑石子的体积，那么完成1单位的搬运工作所需的时间无穷小，兔子将几乎不用时间完成比赛。可是，考虑到石子的体积也是无穷小的。兔子搬运频率的无限性必须依赖于石子体积的无限性。这等价于无穷量之间的比较。

需要指出的是，这个定义的成立，必须依赖这个定义所描述的过程的完成。具体的说，也就是我们必须给定N得到e，然后给定e得到N’，然后给定N’得到e’，如此下去。我们将永远不能完成这个过程，但是，从这个过程的推演中得到了上述的定义。

对于数学，我们可以假定无穷时间上，这个过程得以完成，然后，应用这个概念处理其他的问题。然而，对于时间本身，我们不能够根据我们假定的时间无穷大来使得这个过程完成，从而保证这个定理成立。具体的说，如果定理成立，那么无穷大的时间必须在无穷大的时间上得以证实，可是，无穷大的时间又必须在无穷大的时间上得以证实，否则不能够给出这个定理。定理本身和无穷大时间等价，并未给出任何证明。当然，无穷小的时间也不可能得到证明。

由此可以看出，数学定义的无穷性，是“时间无穷性”在数学上的某种映射。同理可知，其它的关于“无限”的描述，大致和数学定义的无穷性类似－这些无穷性都以时间无穷性为基础，等价的是，时间无穷性不能够以任何的其它无穷性定义。

举例来说，
当我们定义一个无穷小的数，这是指当这个数给出之后，经过无穷的时间也不能够给出一个更小的数;这等价为，我们任意给定一个数，总是经过有限的时间可以给出一个更小的数并不成立。
当我们说一个无穷大的空间，也是指经过无穷的时间也不能给出一个更大的空间：这等价为，我们给定一个空间的大小，总是经过有限的时间可以给出一个更大的空间并不成立。
总之，我们概念中的无穷和如下两个描述等价：
只要给出一个“什么”，经过无穷的时间也不能够给出一个更为“怎么”的“什么”（同类事物）。或者说是，如果给出一个“什么”，总在有限的时间（或者说能够）给出一个更“怎么”的“什么”（同类事物）的反命题。

至此，我们可以看到，我们从未证明时间无限本身。相反的，我们应用了时间无限的概念，推演了一切无限的概念。我们使用无限的概念，以及一切无限概念的论断，都只说明了一点，也就是我们认为无限存在，这个观念一直存在。而对于无限本身是否存在，我们既没有证明过“是”，也没有证明过“否”。

时间的无限性来自于直觉，其它的无限性则依赖于时间无限性本身。那么，时间无限长或者说频率无限大的说法是没有定义的。更进一步的说，石子的无限小体积，也同样的依赖于对时间无限的理解，也没有一个确实可行的定义。

那么是否存在无穷量，也就等价为时间是否是无限的了。
如果时间无限为真，那么无穷量存在为真;
如果时间有限为真，那么无穷量将只在我们认为的无穷时间概念中存在。也就是说，无穷量在现实中的存在不能够得到证实也不能够得到证否。

可是，除非我们亲自经历时间的终止，才可以验证时间的有限性。可是验证者的时间也因为时间终止而终止，所以验证过程无法证明时间的有限。这并不意味着时间必须是无限的，而是说，在任意给定的时间里，时间的有限性将不能够得到直接的证实或者证否。

那么，通过什么方式可以得到时间有限或者无限性的有效论证呢？或者说，用什么实验可以证实或者证否呢？
我们可以首先回到量桶的问题，尝试在这里寻找答案：
对于空间，我们可以避开时间无穷性递归定义的麻烦，假定空间，或者说构成空间的体积可以无穷小。那么堆高1单位体积的量桶，根据定义就必须完成无限多次搬运。可是，我们已经无权使用无限频率这样的概念，无限多搬运的过程就不可能被无限频率所抵消。那么，兔子完成1单位量桶必须使用无限多的时间完成。或者说，兔子不能够在有限的时间完成比赛，最简单的说法是，兔子永远也堆不满这个量桶。
我们也可以考虑，如果乌龟已经在量桶中堆高0.1单位，这时兔子开始堆石子，那么经过多长时间，兔子才能将赶上乌龟呢？（A）
然而，这个命题（A）和兔子用无限小的石子独自堆高1单位的量桶（B）是等价的。
那么，如果在原来的芝诺悖论中，乌龟已经爬行了一段距离，赛跑者需要多少时间才可以追上乌龟呢？
对比时间间隔的粒度和石子体积的粒度。如果时间间隔的粒度和石子体积的粒度一样趋于无穷小，那么，赛跑者真的可以追上乌龟吗？
如果考虑到（A）和（B）的等价，自然可以想到，赛跑者追上乌龟和赛跑者独自完成所有的距离没有区别。这就引发了更大的佯谬：如果时间真的是和石子一样存在一个无穷小的单位，那么，赛跑者根本就不能够完成任意短的距离（因为完成一个任意短的有限距离也需要无限的时间）。当然乌龟也不能，那么这个世界真的从没有什么东西运动过。
可是，这个世界并未发生这样的事情，上述情况明显违背常识。
综上所述，有理由相信在物理世界时间粒度必须存在，且不可以是“没有大小”。

我们还可以简单的作如下推论：

如果无穷量的数学定义仍然可以成立，那么时间长度不可能是无穷大；可是时间长度无穷大不成立，无穷量数学定义则不能够成立。换句话说，在物理世界，并不存在对于数学中无穷量定义的合理应用。同理可知，任何曾经使用的无穷性定义，如空间的无限可分，时间的无限可分，甚至到宇宙的无限广阔的描述，并不具有实际的超越于数学的物理实在性。

这样的说法同样冒着“违背常识”的风险。
原因是非常简单的。例如，我们总可以将一根木棒一分为二，经过反复的实验，我们可以一直将其细分到相当小的长度。我们也可以考虑把一段时间反复的一分为二，总可以得到一个相当小的时间长度。这些推论显然源于古典二分法的哲学思想。

可是，当我们把原子一分为二，意味着什么呢？把原子核一分为二又意味着什么呢？
实验证实，到达某个尺度以后，物质的分解变得复杂，而决定物质分解或者变化的，只有物质本身。一分为二或者一分为几是不能够任意选取的。
在亚原子尺度，周期性时间的倒数，也就是频率同样是不能够任意选取的，一个最显著的例子是电子跃迁释放光子的频率并非可以任意取值，而光子的能量，更可以表达为普朗克常量和频率的积－能量必须是这个常量的”倍数”。

这些事实给出了时空不可任意分割的图象，却还不是一个完整的图景。
如果无限性不具有物理实在性。那么，时空的无限可分也就失去，而建立在时空无限可分上的时空连续性也因此而失去了。失去连续性，使得宇宙本身成为一种类似”数字化”的离散体系，可是，人们一定会说：
既然说世界是离散的，那么为什么我们从来没有察觉呢？或者更进一步的说，我们的任何仪器为什么没有察觉呢？

这似乎就因为我们自身。

考虑如下的思想实验：

在密闭的温室中，安置一台没有任何智慧的测量温度的机器。它在时间上连续的记录温度，用类似于心电图的装置，在滚动的纸带上记录温度曲线。这台机器本身对温室的温度影响甚微，而温室中的其它因素引起温室温度的变化。机器应在接通电源时持续记录温度，并假定纸带足够长。
可是由于某些原因，机器的电源发生故障，电源间歇性的接通和断开，接通时间精确的为3秒，断开时间精确的为1秒。那么当给定时间为60秒，然后检查机器的测量结果，这个结果是怎样的？

问题不难回答，结果是一条关于温度的曲线。
而且，确切的说，这条曲线并不描述温度的真实变化。因为机器工作的时间事实上只有真实经过时间的3/4。
可是，曲线的光滑度会受到影响吗？
曲线会只有纸带长度的3/4吗？

显然不能。因为如果你并不知道机器的这一故障，你没有任何理由区分温度的变化是由环境还是由机器本身造成的，同样的纸带在没有电能供给的前提下，也是不能走动的。

当我看到这条纸带，我并没有严格的证据判断机器是否存在故障，尤其是当环境的温度非常稳定，或者环境温度的强烈变化发生在未被测量的1/4时间内，就更是如此。
那么，一个具有更高等智慧的其它生命有能力判断这个故障吗？
没有，因为这依赖于信息，而不是对信息的处理。

既然这样。如果这台机器是有智慧的，但它只可以用有限的参数（这里就是指温度）去测量环境，它能够知道自己曾经故障的发生吗？我想，如果是我，根据记录的信息不连续的变化程度，我可能会猜测到故障的发生，但是，在这样的条件下，这个猜测是永远不能得到证明的。更为有趣的是，即使我在证明故障的存在，故障仍会反复的中断我的证明过程，而不被我察觉；即使我已经证明故障的存在，也不能够根据我的证明而对这个故障作出任何的反作用，我必须承认，这个故障，是我所存在的世界的”规律”。

一个类似的想法不难得到：
如果上帝在整个宇宙的外面，观察宇宙机器。
可是，机器由于某些原因而周期性的”断电”，但幸运的是，每当”断电”恢复，宇宙并不受到影响。上帝一定会为这个故障而头痛。可是，在我们的宇宙里面，无论是什么人也不需也不可能为这种故障担心。那是因为，无论什么人，什么仪器，都不能够记录故障时间中的事情，除了上帝以及其所在的世界，一切都睡着了。

记得一本讲述四维时空观念的书。为了描述难以琢磨得四维空间，作者举出了三维空间和二维空间关系的一个例子。他形象的说，对于二维国度的居民，和我们只能看到事物在我们视觉方向上的轮廓面一样，只能看到其它二维国度居民的一条轮廓线。那么，一个穿过二维国度的三维苹果，在这个国度中，恐怕要被视为可以随意变换大小的魔法师了。

”宇宙断电”的假设看似离奇，那么看看我们使用的个人计算机：
刚刚展现在面前的丰富多彩的世界，是不是就因为偶然的掉电而立即消失了呢？


为什么要讨论时空连续问题？

时空的连续性是时空自身的性质。
事实上，有更多的条件显示，即使时空不连续，时空的”间隙”也并非理想的“空洞”。
一个现实的理想空洞结构的例子，是数据结构给出的有向或者无向图，以及遍历图的程序。这些图在计算机中没有任何实体存在，图的存在依赖于计算机中存储的被逻辑的“定义”为向量和节点的子数据结构。在程序空间，特定的算法可以用来遍历这个图，正如人们步行走过一个树林。这些图的存在性的体现在某种程度上依赖遍历过程。
节点和向量可能从来不占据连续的存储器空间，当然，它们在物理世界也不可能占据相邻的存储器单元，那么这样的结构在物理世界中无论如何都是”离散”的。可是，在程序空间，它们所构成的图或者称为网络，却是“致密”的。这是因为，当遍历算法不运行，这个网络将不能够被表达，那么它”不存在”；当遍历算法运行，无论哪一种遍历算法，都不是设计为将两个逻辑节点之间的关系割裂为更细微的关系。如果程序逻辑真的要割裂节点关系，那么一个新的逻辑节点也就会产生，这时因为遍历程序或者叫做生成程序的处理，在数据空间“无中生有”的创造了“物质”。
如果将这个模型应用于我们的宇宙，我们就必须引入另一个更为高级的世界。我们的世界是那个世界某计算机模拟中的数据空间和程序空间的运行时体现，而我们的“上帝”：将是设计并观察宇宙程序运行的程序设计师。

然而这个模型用处不大，这和上帝是否存在无关。

无论是大爆炸还是其它任何哲学或者物理上的世界观理解，也就是说无论任何模型，根本上需要对“第一动力”给出解释：

究竟什么才是驱动一切运动的根本动力？换句话说，物质是怎样存在的，它为什么会创生，为什么会消灭，或者为什么不被创生也不被消灭；为什么会运动，为什么会静止，是什么动力提供了我们所认知的一切的存在性。

如果只在程序空间，这些问题容易回答：这些完全依赖于我们给定的算法，或者称为程序空间的“规律”或者“宿命”。然而超出这个范围的更基本的原因也存在，例如“电源”。在更为基本的层次上，是“电源”给出了程序空间基本的存在性，是硬件结构给出了程序空间赖以生存的结构框架或者说空间“实”不连续，而时钟节律给出了程序空间的时间“实”不连续，是算法的实施过程给出了数据结构存在的验证。

可以想象，如果没有上述提到的两个“实”不连续，整个程序空间将变成“一锅无限致密不可流动的粥”，我们将从来没有可以运转正常的计算机。这种想法似乎在芝诺的时代就已经产生了。

从这样的观点出发，虽然不能够将程序空间和现实世界作完全的类比。但是，这些观念带来了对现实世界的一种不同的观察角度。如果本文所论述的时空不连续是一种事实，那么，从这个事实上我们至少可以发现我们思维的某种局限，甚至可能发现这种局限的根源。
对于同样的问题，也许存在不同的理解：

的确，在某种程度上，程序空间的时空是离散的，可是，如果将程序空间所在的物理系统也包含在内，这个时空是否可以变得更为“连续”呢？

可是，程序空间对于我们的物理世界，是”虚构”的，这好比说我们将实数和纯虚数相加，只能得到虚数，而不是原来的实数，或者纯虚数的任何一个。这个论证会在其它篇章中给出。
如果时空的不连续的确是一种”虚”的不连续，我们又为什么要担心这种不连续呢？

这正是本文所要说明的。

试想，如果可以证明时空不具有无限性，也就不具有连续性和可微性，进而是可微性的可加性。那么由微积分理论所建立起来的应用于物理运算以及验证的各种表达似乎都需要重新的审视。

虽然在宏观，甚至是在一定程度上的微观，这些表达可以得出极其精确的结果，但这些基本上可以归结为微小尺度对于定积分的影响微弱。
然而在不定积分及微分上，积分或微分的过程的换算意味着对于无穷性的依赖，可是，如果时空的确不具有这样的无穷性，那么我们将首先面临来自数学自身发散逻辑带来的发散结果，而不是物理世界的自发发生的发散现象。

例如在真空中的点电荷模型，在半径为0的空间场强计算结果趋于无穷，可是这样的事情真的发生了吗？还是说基于时空连续的观念，是我们，而不是自然创造了一个占据无限小空间的点电荷呢？

也许，在时间间隙和空间间隙并非“真空”，可是我们也并非只有选择时空的连续，在“真空”和“连续”之间，本来还有更多的选择。在这些选择中，一个较为可以接受的模型可以暂时叫做“虚世界”。

正如我们已经将由1的平方根和-1的平方根各自组成的不同世界协调起来，互相交织而使得他们统一，把兔子真实运动的时间和兔子并未运动的时间以及时间中的一切“加起来”，也许恰好给出了运动着的，协调的，现实的整个世界。