高歌教授在国际刊物发表解决湍流世界难题的方法

全文引用，注明出处。本文来自2013年5月17日凤凰网。

湍流是世界力学界跨三个世纪苦苦求解的科学难题，一如我国湍流研究界的老前辈周恒教授在《力学的世纪难题——湍流》一文中指出的那样，“湍流运动的复杂性在于它是强非线性系统的运动。湍流的控制方程——Navier-Stokes方程是非线性的，它的解不稳定，会产生多尺度耦合的分叉解，形成复杂流态而难以数学处理。”湍流的复杂性除了多尺度的随机紊乱运动之外，它还时时呈现似是而非的拟序组织结构，这样便产生了湍流研究的两大学派：统计学派和结构学派。众所周知，随机运动可以用统计方法处置，而有组织结构的运动则可以用决定论的方法处理，而湍流兼具随机和结构两大特性，几乎不可能单独使用统计或决定论的方法予以解决，拟序现象的发现进一步增大了湍流研究的难度。

1883年雷诺对N-S方程进行的统计平均引出了高阶关联的不封闭问题，雷诺平均方程的数目永远少于未知量的数目，为了获得近似解只能在某阶方程上截断，而采用经验方法求出该方程中的高阶项。一百多年来探求经验方程及引入经验系数的实践已经表明，不存在也不可能获得普适的经验系数和经验方程。湍流的统计力学学派既不能获得通用湍流方程，也丝毫不能描述湍流的拟序结构特性。另一方面，从上世纪50年代起，结构学派记录了形形色色的拟序结构，却始终未能推导出描写各种逆序结构的普适方程，更遑论适应于随机和结构两类湍流基本特性的通用理论和方程了。所以上世纪90年代在国际湍流界流传着这样的一则调侃之语：“结构在理论上不允许结构存在的地方，在没有理论的指导下存在着。”对这话的通俗解释是：描述随机现象的统计理论不允许有组织结构存在，而有序现象却在没有任何理论解释的情况下出现在随机湍流场中。这段话语至今似乎仍然适用于这一跨三个世纪的湍流研究的现状！

如果说近几十年湍流研究有实质性进展的话，那就是随着计算机技术的飞速进展，大涡模拟（LES）和直接数值求解N-S方程的（DNS）方法了。这两种方法在不深入涉及湍流机理的情况下可以获得很多实验方法不能获得的细节，也能用于一些小型流场的工程计算。但是这种方法并不是湍流研究的终结，湍流机理的研究和模式理论的研究依然是重要的。正如周恒教授所指出的：“如果要通过这种方法来计算飞机和船舶的完整流场，则计算机的速度和存储容量至少要比现在的巨型机提高107～108倍，而对海洋和大气中的湍流就更加不可想象了……在实验和直接模拟的配合下，提出合理的湍流模型将是比较合理的解决方法。”

难题就是难题，但是湍流研究的现状和未来充满希望！中国科学家独辟蹊径，应用独具匠心的数学-物理方法提出的能统一湍流的统计学派和结构学派，建立不依赖于经验系数和经验方程，能够广泛适当地应用于多种高、低速复杂湍流场，在稀疏的网格上快速进行高精度工程模拟计算的新一代湍流模式正在日趋成熟。2013年2月4日出版的《国际力学系统工程》杂志刊登了北京航空航天大学高歌教授和徐晶磊撰写的“基于部分平均的可压湍流的研究”（IJMSE10094）的文章。国际著名湍流研究权威、K-E湍流模型和雷诺应力模型的创始人B.E.朗德尔教授对该文做出了如下的评价：“推导思路完善、独特、清晰、严谨；验证结果精度高，既能计算平均湍流，又能模拟拟序结构……是湍流研究中一项非常重要、非常杰出的成果。”

这篇文章是高歌教授研究湍流30年，苦心孤诣呕心沥血之作。该英文文章是在2008年6月份发表于《中国力学文摘》上长达20页的论文《侧偏平均湍流方程研究综述》一文的基础上补充完善写出的。读者很难想到，这篇中文文章的刊出是我国力学界在建立优良的学风、鼓励中国学者大胆独立创新的道路上迈出的可喜一步。读者不大了解的是，高歌教授提出的湍流理论的雏形当年曾经遭到学术界全国性的批判。2008年1月，高歌教授接到了《中国力学文摘》副主编陶彩军的电话，内容大意为，我受编辑部的委托，向您转达我们的约稿邀请。15年前《力学学报》曾开展对您提出的湍流理论的争鸣，15年过去了，我们理应对学术界有所交代，对读者有所交代，对您本人有所交代。为此，编辑部做了深入细致和广泛的调研，现在结论出来了：您对了，您作为领军人物所创立的湍流学派在国内外都有了日益增强的影响。编辑部已经上报力学学会批准，邀请您写一篇有关您的湍流理论的综述性的文章，不拘长短，我们将予以发表，作为这场争鸣的结束语。真的是峰回路转柳暗花明。于是，高歌教授为国内外力学界陆续奉献了两篇各为中、英文的综述性文章。
将回溯历史的视线前移，在2003年科学院院士讨论创新人才的会议上，笔者十分敬仰的庄逢甘院士率先发言：“一提到爱护年轻创新人才，我就想起一个人，他在十多年前提出新的湍流理论设想，我们这群院士和老专家就联合起来把他狠狠地批了一通……他没有气馁，现在他不仅在湍流研究上取得进展，还取得了其他领域的科研成果，值得学习……我们也应该反思，我们是如何对待年轻创新人才的……”尽管2006年，国内著名湍流学者佘振苏高度评价了高歌教授的湍流研究成果；尽管早在2000年，美国工程院院士B.T.Chao和著名流体力学专家W.L.Chow就评论这一研究是“1883年以来湍流研究的最重要进展”、“二十一世纪流体力学的里程碑”，但当有人说起高歌教授其人时，“他是被批判的人”、“他是有争议的人”的说法仍然不绝于耳。和世俗的非议相反，在2004年香山会议上，国家科技部部长徐冠华就直截了当地指出：“我们国家需要更多的像高歌教授这样的有争议的科学家，提出创新观点就必然引出争议，没有争议就没有创新！”毫无疑问，学术自由百家争鸣是科学家的空气。

作为一名苦苦攀登的探索者，高歌教授经历的艰辛，无异于抢关夺隘，每前进一步都要在身上留下伤痕，如鲁迅形容的，有时不得已还要“侧身”战斗。毕竟一位科学家终其一生也没有几个15年，这段历史公案将为人类科学探索史留下一段注脚。
下面来看一看高歌湍流理论的思路梗概：

1.湍流的侧偏平均理论采用了与雷诺平均完全不同的平均方法，将流场中一点处的速度脉动分为Ⅰ、Ⅱ两组分别进行平均，其平均值均不为零，相应的二组动量方程在推导过程中保存了包括一阶量在内的全部统计平均扰动信息，如能得到准确反映物理实质的模化并与连续方程、能量方程相配合，必然能准确反映湍流的统计平均及拟序结构流动特性。而要获得这样的效果，对传统的雷诺平均及其模化而言，无疑是不可能的。因为雷诺平均完全丧失了最重要的一阶扰动量信息，从二阶扰动量的关联项（雷诺应力项）及其方程出发来研究扰动对于零阶量的全部影响，无疑是困难重重的。

2.在方程推导过程中引入了Ⅰ、Ⅱ两组划分的无量纲权重系数之后，使加权漂移速度在各种分组情况下对称，求解一组方程即可，这为方程的求解带来了莫大的方便。加权漂移速度的对称性表明，即便在湍流这样具有高度随机性现象中，自然界普遍存在的对称性法则也是存在的。

3.高歌教授认为，长期困扰湍流研究的高阶关联不封闭问题是与非线性过程失稳后具有无限层次结构现象相对应的。单纯从数学方法上力图在某一层次封闭非线性问题是不可能的。每一具体非线性物理过程的无限层次结构现象的不确定性背后，必然对应于某一确定性的物理过程。对于湍流而言，无限多层次的涡团串级散裂过程及拟序结构从低阶到高阶的衰变过程的表象之后，是流体动能从平均流向漂移流传递，并从漂移流最终变为分子热的能量传递链的确定论过程。这一确定论的过程构成了动量传输链，这为确定漂移流动量方程的源项和耗散项、为关联项的模化奠定了坚实的物理基础。

4.侧偏平均保证了漂移流动量方程和漂移流无限层次尺度的能量方程的全息准确性。为最终求出尺度矢量采用以下两个假设：

1）加权漂移速度以平均主流方向为主轴，构造了正交各向异性湍流脉动参数场。

2）平均流、漂移流、分子杂乱热运动三种状态之间存在着动量传输链。

大量的计算验证证实了以上两点假设的正确性。引入正交各向异性的对称性之后极大地简化了各向异性系数矩阵，使三维各向异性的系数阵的36个非零分量简化到正向各向异性的6个非零分量，极易求解。当坐标系旋转偏离正交各向异性坐标轴时，就又得出36个非零分量，与一般各向异性无异，这一方法成功地解决了湍流的各向异性问题。

5.建立了完全独立的漂移流机械能方程，它清晰地表达了平均流与漂移流之间机械能关系，其物理意义是：漂移流对平均流的作用就是阻碍平均流的流动，漂移流在脉动平均尺度L距离上所做的功，恰恰等于平均流在L距离上因漂移流的阻碍作用而丧失的动能。通常的机械能方程，如平均流的动能方程或湍流的动能方程，都是速度与动量方程相乘的结果，从物理本质上讲都不是独立方程。本理论推导的机械能方程是跨越平均流与漂移流功能关系的桥梁，成功地解决了独立性问题，使研究工作立于坚实基础之上。
6.级数形式的能量方程可以提供多重离散尺度解，这对应于湍流的多层次结构尺度现象，和离散尺度解有关的参数如漂移流速度、尺度、湍流涡团粘性张量也是离散的，必须在迭代计算结束后对离散尺度进行平均才可得出以上参数的连续光滑解。否则，在迭代过程中对离散尺度的平均，必将破坏计算结果的物理适定性。以圆射流的计算为例：离散解法可以获得适定解，但如在每一迭代步中对离散尺度进行平均，计算所得圆射流的扩张率比实验值要增加40%，平/圆射流异常现象无从得以解决。这说明，每一个离散解都是方程的有效解，但离散解的平均值却不是方程的解！在湍流及非线性科学的研究中，有必要从哲学和方法论上对该现象进行深入的研究。它表明，以多层次尺度为基本特征的非线性现象，只能使用具有离散解的尺度方程。平均尺度方程与物理现象相悖，势必破坏适定性，并不得不引入经验系数。目前绝大多数经验湍流模型都采用了连续尺度的概念，这是它们不能妥当计算具有离散湍流粘性系数的问题的根本原因。
能够兼顾计算统计平均流及拟序结构流的计算事实表明，方程组的推导为普遍性的强非线性多层次结构现象的研究提供了可供参考的数学－物理方法。对湍流研究而言，则为统计平均学派及结构学派的合流提供了理论雏形。由于拟序现象的计算可在稀疏网格上完成的，方程组也实现了大涡模拟模型的初衷，数值计算已经表明一阶能量方程就是基幅拟序结构的控制方程。当然，对拟序现象，特别是一阶拟序结构的研究还应开展细致的三维数值研究，才能得到与实验相符的拟序结构。

由于该湍流方程从N-S方程出发，在推导过程中不曾舍弃任何高阶量，模化过程又采用了符合湍流物理实质的动量传输链概念，因而很好地保存了N-S方程的均化非线性特性，在计算多数算例时不做任何调整就可得出优于一般湍流模型的结果。湍流是一兼具耗散和弥散特性的物理现象，耗散由二阶偏微分项描述，而弥散特性由三阶项描述。湍流的能量逆转现象和负弥散有关。虽然在新的湍流理论的能量方程包含有三阶以上的高阶项，但以往的多数计算都是在一、二阶进行的，未能妥善处理湍流的弥散特性。2012年以来董鹤进行的添加三阶项的研究取得了优秀的成果，为完善湍流的侧偏平均理论做出了贡献。当然，对于引入弥散特性的研究还需进一步深化；对边界网点的实度系数的研究也需要继续进行，目前只得出了网格微元体中心点位于固体边界时的准确的实度系数，对中心点处于附面层其他位置的实度系数尚未获得解析表达式。从试验的角度来看，和漂移流有关的各种物理量，如漂移速度、位矢、湍流涡团粘性张量系数等，如何在试验中进行测量也还有待解决。对拟序现象的研究，特别是高阶拟序流动的研究，也应继续深入进行。

通过侧偏平均及动量传输链模化得出的湍流封闭方程组，保留了包括一阶扰动统计平均量在内的全部扰动信息，不包含任何经验系数和经验处置，可以计算从层流到高雷诺数、高马赫数的湍流的统计平均流动及拟序结构流动。

到目前为止，已经使用多种数值方法进行了大量数值计算，内容覆盖了不可压流和可压流的广泛领域的湍流问题，数值计算结果已经表明，该方程组可获得高精度的统计平均结果，也可在粗网格上获得形象逼真的大涡模拟结果，并可解决一系列湍流难题，对各种流动有广泛适定性，可用于湍流的理论研究及工程计算。
侧偏平均、加权漂移速度对称性、漂移流特性正交各向异性、动量传输链封闭及对应于无限结构层次的级数形式的漂移流能量方程等一系列推导方法，为普遍性的强非线性现象的研究提供了有参考价值的数学/物理方法。该项研究通过理性推导，对建立能囊括湍流的半随机、半有序现象的统一方程做了初步尝试，高歌教授希望能抛砖引玉。

从高歌教授最初提出研究湍流的侧偏平均的思路到现在已经过去了22个春秋！钱学森曾针对当年的争论号召“中国人团结起来攻克湍流这一世界难题，为人类做贡献”；朱光亚也曾说过“只有今后湍流研究的历史才能对这一新的湍流研究方向做出判断”。湍流仅仅是科学的汪洋大海中的一丝涟漪，逝者如斯夫！在迎接人类文明的新纪元到来的转捩时刻，有着更多的新观念新理论在等待我们去争议和明辨。


全文引用，注明出处。本文来自2013年5月17日凤凰网。

全文引用，注明出处。本文来自2013年5月17日凤凰网。

湍流是世界力学界跨三个世纪苦苦求解的科学难题，一如我国湍流研究界的老前辈周恒教授在《力学的世纪难题——湍流》一文中指出的那样，“湍流运动的复杂性在于它是强非线性系统的运动。湍流的控制方程——Navier-Stokes方程是非线性的，它的解不稳定，会产生多尺度耦合的分叉解，形成复杂流态而难以数学处理。”湍流的复杂性除了多尺度的随机紊乱运动之外，它还时时呈现似是而非的拟序组织结构，这样便产生了湍流研究的两大学派：统计学派和结构学派。众所周知，随机运动可以用统计方法处置，而有组织结构的运动则可以用决定论的方法处理，而湍流兼具随机和结构两大特性，几乎不可能单独使用统计或决定论的方法予以解决，拟序现象的发现进一步增大了湍流研究的难度。

1883年雷诺对N-S方程进行的统计平均引出了高阶关联的不封闭问题，雷诺平均方程的数目永远少于未知量的数目，为了获得近似解只能在某阶方程上截断，而采用经验方法求出该方程中的高阶项。一百多年来探求经验方程及引入经验系数的实践已经表明，不存在也不可能获得普适的经验系数和经验方程。湍流的统计力学学派既不能获得通用湍流方程，也丝毫不能描述湍流的拟序结构特性。另一方面，从上世纪50年代起，结构学派记录了形形色色的拟序结构，却始终未能推导出描写各种逆序结构的普适方程，更遑论适应于随机和结构两类湍流基本特性的通用理论和方程了。所以上世纪90年代在国际湍流界流传着这样的一则调侃之语：“结构在理论上不允许结构存在的地方，在没有理论的指导下存在着。”对这话的通俗解释是：描述随机现象的统计理论不允许有组织结构存在，而有序现象却在没有任何理论解释的情况下出现在随机湍流场中。这段话语至今似乎仍然适用于这一跨三个世纪的湍流研究的现状！

如果说近几十年湍流研究有实质性进展的话，那就是随着计算机技术的飞速进展，大涡模拟（LES）和直接数值求解N-S方程的（DNS）方法了。这两种方法在不深入涉及湍流机理的情况下可以获得很多实验方法不能获得的细节，也能用于一些小型流场的工程计算。但是这种方法并不是湍流研究的终结，湍流机理的研究和模式理论的研究依然是重要的。正如周恒教授所指出的：“如果要通过这种方法来计算飞机和船舶的完整流场，则计算机的速度和存储容量至少要比现在的巨型机提高107～108倍，而对海洋和大气中的湍流就更加不可想象了……在实验和直接模拟的配合下，提出合理的湍流模型将是比较合理的解决方法。”

难题就是难题，但是湍流研究的现状和未来充满希望！中国科学家独辟蹊径，应用独具匠心的数学-物理方法提出的能统一湍流的统计学派和结构学派，建立不依赖于经验系数和经验方程，能够广泛适当地应用于多种高、低速复杂湍流场，在稀疏的网格上快速进行高精度工程模拟计算的新一代湍流模式正在日趋成熟。2013年2月4日出版的《国际力学系统工程》杂志刊登了北京航空航天大学高歌教授和徐晶磊撰写的“基于部分平均的可压湍流的研究”（IJMSE10094）的文章。国际著名湍流研究权威、K-E湍流模型和雷诺应力模型的创始人B.E.朗德尔教授对该文做出了如下的评价：“推导思路完善、独特、清晰、严谨；验证结果精度高，既能计算平均湍流，又能模拟拟序结构……是湍流研究中一项非常重要、非常杰出的成果。”

这篇文章是高歌教授研究湍流30年，苦心孤诣呕心沥血之作。该英文文章是在2008年6月份发表于《中国力学文摘》上长达20页的论文《侧偏平均湍流方程研究综述》一文的基础上补充完善写出的。读者很难想到，这篇中文文章的刊出是我国力学界在建立优良的学风、鼓励中国学者大胆独立创新的道路上迈出的可喜一步。读者不大了解的是，高歌教授提出的湍流理论的雏形当年曾经遭到学术界全国性的批判。2008年1月，高歌教授接到了《中国力学文摘》副主编陶彩军的电话，内容大意为，我受编辑部的委托，向您转达我们的约稿邀请。15年前《力学学报》曾开展对您提出的湍流理论的争鸣，15年过去了，我们理应对学术界有所交代，对读者有所交代，对您本人有所交代。为此，编辑部做了深入细致和广泛的调研，现在结论出来了：您对了，您作为领军人物所创立的湍流学派在国内外都有了日益增强的影响。编辑部已经上报力学学会批准，邀请您写一篇有关您的湍流理论的综述性的文章，不拘长短，我们将予以发表，作为这场争鸣的结束语。真的是峰回路转柳暗花明。于是，高歌教授为国内外力学界陆续奉献了两篇各为中、英文的综述性文章。
将回溯历史的视线前移，在2003年科学院院士讨论创新人才的会议上，笔者十分敬仰的庄逢甘院士率先发言：“一提到爱护年轻创新人才，我就想起一个人，他在十多年前提出新的湍流理论设想，我们这群院士和老专家就联合起来把他狠狠地批了一通……他没有气馁，现在他不仅在湍流研究上取得进展，还取得了其他领域的科研成果，值得学习……我们也应该反思，我们是如何对待年轻创新人才的……”尽管2006年，国内著名湍流学者佘振苏高度评价了高歌教授的湍流研究成果；尽管早在2000年，美国工程院院士B.T.Chao和著名流体力学专家W.L.Chow就评论这一研究是“1883年以来湍流研究的最重要进展”、“二十一世纪流体力学的里程碑”，但当有人说起高歌教授其人时，“他是被批判的人”、“他是有争议的人”的说法仍然不绝于耳。和世俗的非议相反，在2004年香山会议上，国家科技部部长徐冠华就直截了当地指出：“我们国家需要更多的像高歌教授这样的有争议的科学家，提出创新观点就必然引出争议，没有争议就没有创新！”毫无疑问，学术自由百家争鸣是科学家的空气。

作为一名苦苦攀登的探索者，高歌教授经历的艰辛，无异于抢关夺隘，每前进一步都要在身上留下伤痕，如鲁迅形容的，有时不得已还要“侧身”战斗。毕竟一位科学家终其一生也没有几个15年，这段历史公案将为人类科学探索史留下一段注脚。
下面来看一看高歌湍流理论的思路梗概：

1.湍流的侧偏平均理论采用了与雷诺平均完全不同的平均方法，将流场中一点处的速度脉动分为Ⅰ、Ⅱ两组分别进行平均，其平均值均不为零，相应的二组动量方程在推导过程中保存了包括一阶量在内的全部统计平均扰动信息，如能得到准确反映物理实质的模化并与连续方程、能量方程相配合，必然能准确反映湍流的统计平均及拟序结构流动特性。而要获得这样的效果，对传统的雷诺平均及其模化而言，无疑是不可能的。因为雷诺平均完全丧失了最重要的一阶扰动量信息，从二阶扰动量的关联项（雷诺应力项）及其方程出发来研究扰动对于零阶量的全部影响，无疑是困难重重的。

2.在方程推导过程中引入了Ⅰ、Ⅱ两组划分的无量纲权重系数之后，使加权漂移速度在各种分组情况下对称，求解一组方程即可，这为方程的求解带来了莫大的方便。加权漂移速度的对称性表明，即便在湍流这样具有高度随机性现象中，自然界普遍存在的对称性法则也是存在的。

3.高歌教授认为，长期困扰湍流研究的高阶关联不封闭问题是与非线性过程失稳后具有无限层次结构现象相对应的。单纯从数学方法上力图在某一层次封闭非线性问题是不可能的。每一具体非线性物理过程的无限层次结构现象的不确定性背后，必然对应于某一确定性的物理过程。对于湍流而言，无限多层次的涡团串级散裂过程及拟序结构从低阶到高阶的衰变过程的表象之后，是流体动能从平均流向漂移流传递，并从漂移流最终变为分子热的能量传递链的确定论过程。这一确定论的过程构成了动量传输链，这为确定漂移流动量方程的源项和耗散项、为关联项的模化奠定了坚实的物理基础。

4.侧偏平均保证了漂移流动量方程和漂移流无限层次尺度的能量方程的全息准确性。为最终求出尺度矢量采用以下两个假设：

1）加权漂移速度以平均主流方向为主轴，构造了正交各向异性湍流脉动参数场。

2）平均流、漂移流、分子杂乱热运动三种状态之间存在着动量传输链。

大量的计算验证证实了以上两点假设的正确性。引入正交各向异性的对称性之后极大地简化了各向异性系数矩阵，使三维各向异性的系数阵的36个非零分量简化到正向各向异性的6个非零分量，极易求解。当坐标系旋转偏离正交各向异性坐标轴时，就又得出36个非零分量，与一般各向异性无异，这一方法成功地解决了湍流的各向异性问题。

5.建立了完全独立的漂移流机械能方程，它清晰地表达了平均流与漂移流之间机械能关系，其物理意义是：漂移流对平均流的作用就是阻碍平均流的流动，漂移流在脉动平均尺度L距离上所做的功，恰恰等于平均流在L距离上因漂移流的阻碍作用而丧失的动能。通常的机械能方程，如平均流的动能方程或湍流的动能方程，都是速度与动量方程相乘的结果，从物理本质上讲都不是独立方程。本理论推导的机械能方程是跨越平均流与漂移流功能关系的桥梁，成功地解决了独立性问题，使研究工作立于坚实基础之上。
6.级数形式的能量方程可以提供多重离散尺度解，这对应于湍流的多层次结构尺度现象，和离散尺度解有关的参数如漂移流速度、尺度、湍流涡团粘性张量也是离散的，必须在迭代计算结束后对离散尺度进行平均才可得出以上参数的连续光滑解。否则，在迭代过程中对离散尺度的平均，必将破坏计算结果的物理适定性。以圆射流的计算为例：离散解法可以获得适定解，但如在每一迭代步中对离散尺度进行平均，计算所得圆射流的扩张率比实验值要增加40%，平/圆射流异常现象无从得以解决。这说明，每一个离散解都是方程的有效解，但离散解的平均值却不是方程的解！在湍流及非线性科学的研究中，有必要从哲学和方法论上对该现象进行深入的研究。它表明，以多层次尺度为基本特征的非线性现象，只能使用具有离散解的尺度方程。平均尺度方程与物理现象相悖，势必破坏适定性，并不得不引入经验系数。目前绝大多数经验湍流模型都采用了连续尺度的概念，这是它们不能妥当计算具有离散湍流粘性系数的问题的根本原因。
能够兼顾计算统计平均流及拟序结构流的计算事实表明，方程组的推导为普遍性的强非线性多层次结构现象的研究提供了可供参考的数学－物理方法。对湍流研究而言，则为统计平均学派及结构学派的合流提供了理论雏形。由于拟序现象的计算可在稀疏网格上完成的，方程组也实现了大涡模拟模型的初衷，数值计算已经表明一阶能量方程就是基幅拟序结构的控制方程。当然，对拟序现象，特别是一阶拟序结构的研究还应开展细致的三维数值研究，才能得到与实验相符的拟序结构。

由于该湍流方程从N-S方程出发，在推导过程中不曾舍弃任何高阶量，模化过程又采用了符合湍流物理实质的动量传输链概念，因而很好地保存了N-S方程的均化非线性特性，在计算多数算例时不做任何调整就可得出优于一般湍流模型的结果。湍流是一兼具耗散和弥散特性的物理现象，耗散由二阶偏微分项描述，而弥散特性由三阶项描述。湍流的能量逆转现象和负弥散有关。虽然在新的湍流理论的能量方程包含有三阶以上的高阶项，但以往的多数计算都是在一、二阶进行的，未能妥善处理湍流的弥散特性。2012年以来董鹤进行的添加三阶项的研究取得了优秀的成果，为完善湍流的侧偏平均理论做出了贡献。当然，对于引入弥散特性的研究还需进一步深化；对边界网点的实度系数的研究也需要继续进行，目前只得出了网格微元体中心点位于固体边界时的准确的实度系数，对中心点处于附面层其他位置的实度系数尚未获得解析表达式。从试验的角度来看，和漂移流有关的各种物理量，如漂移速度、位矢、湍流涡团粘性张量系数等，如何在试验中进行测量也还有待解决。对拟序现象的研究，特别是高阶拟序流动的研究，也应继续深入进行。

通过侧偏平均及动量传输链模化得出的湍流封闭方程组，保留了包括一阶扰动统计平均量在内的全部扰动信息，不包含任何经验系数和经验处置，可以计算从层流到高雷诺数、高马赫数的湍流的统计平均流动及拟序结构流动。

到目前为止，已经使用多种数值方法进行了大量数值计算，内容覆盖了不可压流和可压流的广泛领域的湍流问题，数值计算结果已经表明，该方程组可获得高精度的统计平均结果，也可在粗网格上获得形象逼真的大涡模拟结果，并可解决一系列湍流难题，对各种流动有广泛适定性，可用于湍流的理论研究及工程计算。
侧偏平均、加权漂移速度对称性、漂移流特性正交各向异性、动量传输链封闭及对应于无限结构层次的级数形式的漂移流能量方程等一系列推导方法，为普遍性的强非线性现象的研究提供了有参考价值的数学/物理方法。该项研究通过理性推导，对建立能囊括湍流的半随机、半有序现象的统一方程做了初步尝试，高歌教授希望能抛砖引玉。

从高歌教授最初提出研究湍流的侧偏平均的思路到现在已经过去了22个春秋！钱学森曾针对当年的争论号召“中国人团结起来攻克湍流这一世界难题，为人类做贡献”；朱光亚也曾说过“只有今后湍流研究的历史才能对这一新的湍流研究方向做出判断”。湍流仅仅是科学的汪洋大海中的一丝涟漪，逝者如斯夫！在迎接人类文明的新纪元到来的转捩时刻，有着更多的新观念新理论在等待我们去争议和明辨。


全文引用，注明出处。本文来自2013年5月17日凤凰网。