超级军网论NP=P，及一个近似算法（原创）
来源：百度文库 编辑：超级军网 时间：2024/04/30 01:02:10
论NP=P，及一个近似算法
江西省余江二中 胡
摘要：本文给出了最大团问题的多项式时间算法，从而有NP=P。另外提供了一个
近似算法，可以较快地得到图着色问题的近似最优解——判断简单无向图的顶点色数
的误差不大于2。
关键词：NP=P，最大团问题，算法，图着色问题，近似。
第一部分 NP=P
定理1.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于2的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G有相同的最大团。
证明：显然。
推论：对任意简单无向图G=（V,E），存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G有相同的最大团。
定理2.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则G的图着色问题（顶点色数问题）可以在n的多项式时间内转换为G的
最大团问题。
证明思路：已知图着色问题≤p SAT（“≤p”表示多项式时间归约）
SAT≤p 3-SAT
3-SAT≤p 团问题
只需注意细节，就可证明定理2。
定理3.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则存在n的多项式时间算法，可在该算法下，解决G的图着色问题，即确
定G的顶点色数。
证明思路与算法：易知G是k-部图（不一定、也无须是完全k-部图）。
算法：设v是G中度最大的顶点，显然v的邻点应该与v着色不同。在距离v为2的
顶点中，依次选取G中度最大且互不相邻的顶点，得到包含v的一个极大独立集V1，
设V=V1∪V2,V1∩V2=Ø，G去掉V1中所有顶点（及其关联边）得到图
G2=(V2，E2)。则可以证明G2的顶点色数比G的顶点色数小1；且G2去掉度
小于2的顶点（若这样的顶点存在）后，任意两个顶点的距离也是不大于2的。
由递归关系可知G的顶点色数可以在n的多项式时间内确定。
由定理1~定理3，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可以在n的多
项式时间内确定G的最大团，即最大团问题是P问题。又最大团问题是NPC问题，
从而NP=P。
------------------------------------------------------------------
第二部分 图着色问题的一个近似算法
定理4.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于3的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于3；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
定理5.设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
va、vb是G中距离为3的两个顶点，E'=E∪{（va，vb）}，则
G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
由定理4~定理5，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可
以在n的多项式时间找到G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于2 论NP=P，及一个近似算法
江西省余江二中 胡
摘要：本文给出了最大团问题的多项式时间算法，从而有NP=P。另外提供了一个
近似算法，可以较快地得到图着色问题的近似最优解——判断简单无向图的顶点色数
的误差不大于2。
关键词：NP=P，最大团问题，算法，图着色问题，近似。
第一部分 NP=P
定理1.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于2的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G有相同的最大团。
证明：显然。
推论：对任意简单无向图G=（V,E），存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G有相同的最大团。
定理2.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则G的图着色问题（顶点色数问题）可以在n的多项式时间内转换为G的
最大团问题。
证明思路：已知图着色问题≤p SAT（“≤p”表示多项式时间归约）
SAT≤p 3-SAT
3-SAT≤p 团问题
只需注意细节，就可证明定理2。
定理3.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则存在n的多项式时间算法，可在该算法下，解决G的图着色问题，即确
定G的顶点色数。
证明思路与算法：易知G是k-部图（不一定、也无须是完全k-部图）。
算法：设v是G中度最大的顶点，显然v的邻点应该与v着色不同。在距离v为2的
顶点中，依次选取G中度最大且互不相邻的顶点，得到包含v的一个极大独立集V1，
设V=V1∪V2,V1∩V2=Ø，G去掉V1中所有顶点（及其关联边）得到图
G2=(V2，E2)。则可以证明G2的顶点色数比G的顶点色数小1；且G2去掉度
小于2的顶点（若这样的顶点存在）后，任意两个顶点的距离也是不大于2的。
由递归关系可知G的顶点色数可以在n的多项式时间内确定。
由定理1~定理3，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可以在n的多
项式时间内确定G的最大团，即最大团问题是P问题。又最大团问题是NPC问题，
从而NP=P。
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第二部分 图着色问题的一个近似算法
定理4.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于3的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于3；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
定理5.设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
va、vb是G中距离为3的两个顶点，E'=E∪{（va，vb）}，则
G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
由定理4~定理5，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可
以在n的多项式时间找到G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于2
江西省余江二中 胡
摘要：本文给出了最大团问题的多项式时间算法，从而有NP=P。另外提供了一个
近似算法，可以较快地得到图着色问题的近似最优解——判断简单无向图的顶点色数
的误差不大于2。
关键词：NP=P，最大团问题，算法，图着色问题，近似。
第一部分 NP=P
定理1.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于2的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G有相同的最大团。
证明：显然。
推论：对任意简单无向图G=（V,E），存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G有相同的最大团。
定理2.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则G的图着色问题（顶点色数问题）可以在n的多项式时间内转换为G的
最大团问题。
证明思路：已知图着色问题≤p SAT（“≤p”表示多项式时间归约）
SAT≤p 3-SAT
3-SAT≤p 团问题
只需注意细节，就可证明定理2。
定理3.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则存在n的多项式时间算法，可在该算法下，解决G的图着色问题，即确
定G的顶点色数。
证明思路与算法：易知G是k-部图（不一定、也无须是完全k-部图）。
算法：设v是G中度最大的顶点，显然v的邻点应该与v着色不同。在距离v为2的
顶点中，依次选取G中度最大且互不相邻的顶点，得到包含v的一个极大独立集V1，
设V=V1∪V2,V1∩V2=Ø，G去掉V1中所有顶点（及其关联边）得到图
G2=(V2，E2)。则可以证明G2的顶点色数比G的顶点色数小1；且G2去掉度
小于2的顶点（若这样的顶点存在）后，任意两个顶点的距离也是不大于2的。
由递归关系可知G的顶点色数可以在n的多项式时间内确定。
由定理1~定理3，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可以在n的多
项式时间内确定G的最大团，即最大团问题是P问题。又最大团问题是NPC问题，
从而NP=P。
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第二部分 图着色问题的一个近似算法
定理4.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于3的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于3；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
定理5.设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
va、vb是G中距离为3的两个顶点，E'=E∪{（va，vb）}，则
G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
由定理4~定理5，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可
以在n的多项式时间找到G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于2 论NP=P，及一个近似算法
江西省余江二中 胡
摘要：本文给出了最大团问题的多项式时间算法，从而有NP=P。另外提供了一个
近似算法，可以较快地得到图着色问题的近似最优解——判断简单无向图的顶点色数
的误差不大于2。
关键词：NP=P，最大团问题，算法，图着色问题，近似。
第一部分 NP=P
定理1.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于2的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G有相同的最大团。
证明：显然。
推论：对任意简单无向图G=（V,E），存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G有相同的最大团。
定理2.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则G的图着色问题（顶点色数问题）可以在n的多项式时间内转换为G的
最大团问题。
证明思路：已知图着色问题≤p SAT（“≤p”表示多项式时间归约）
SAT≤p 3-SAT
3-SAT≤p 团问题
只需注意细节，就可证明定理2。
定理3.设G=（V,E）是n阶简单无向图，n≥3，G中任意两个顶点的距离不大
于2，则存在n的多项式时间算法，可在该算法下，解决G的图着色问题，即确
定G的顶点色数。
证明思路与算法：易知G是k-部图（不一定、也无须是完全k-部图）。
算法：设v是G中度最大的顶点，显然v的邻点应该与v着色不同。在距离v为2的
顶点中，依次选取G中度最大且互不相邻的顶点，得到包含v的一个极大独立集V1，
设V=V1∪V2,V1∩V2=Ø，G去掉V1中所有顶点（及其关联边）得到图
G2=(V2，E2)。则可以证明G2的顶点色数比G的顶点色数小1；且G2去掉度
小于2的顶点（若这样的顶点存在）后，任意两个顶点的距离也是不大于2的。
由递归关系可知G的顶点色数可以在n的多项式时间内确定。
由定理1~定理3，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可以在n的多
项式时间内确定G的最大团，即最大团问题是P问题。又最大团问题是NPC问题，
从而NP=P。
------------------------------------------------------------------
第二部分 图着色问题的一个近似算法
定理4.设G=（V,E）是简单无向图，va、vb是G中距离大于3的两个顶点，
E'=E∪{（va，vb）}，则G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于3；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
定理5.设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
va、vb是G中距离为3的两个顶点，E'=E∪{（va，vb）}，则
G'=(V，E')与G的顶点色数之差不大于1。
推论：设G=（V,E）是简单无向图，G中任意两个顶点的距离不大于3，
则存在简单无向图G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于1。
由定理4~定理5，对任意n阶简单无向图G=（V,E），n≥3，我们可
以在n的多项式时间找到G'=(V，E')，满足：
（1）E⊆E'；
（2）G'中任意两个顶点的距离不大于2；
（3）G'与G的顶点色数之差不大于2