关于西方基础学科问题，请那几位朋友进来一下

    数学教育是个很大的概念，要区分来说。
   
    首先说数学的普及，这一点来说，没有任何一个国家是做的是出众的。数学这个学科有特殊性，它严格来说不算是science，你可以说是一切牵涉到定量科学的语言，但它又不光是数字，还包括图形，逻辑这些与数字无关的东西。而且数学是所有“硬科学”里最艺术，最哲学，最玄的。数学的普及就非常依赖家庭启蒙教育，家长受教育程度高的，尤其是“理科”背景浓厚的，在孩子小的时候所做的数学普及就比较多。从国家上来看，整个欧洲和东亚地区都不错，但新兴文化体，像美国，澳大利亚，加拿大这样没有什么文化根基的移民大国，相对就要差些，那边的社会风气从根子上来讲就很实用主义，对数学这种阳春白雪的东西不是太感冒，只当个工具，而且畏难。所以它们最多是普及数学技术，很难谈到普及数学文化。

其次是基础数学教育。中国的基础数学教育的确是成功的，主要体现在数学的两大核心能力，计算能力和推理能力的引入比较早，训练时间长，很扎实。小学数学就强调口算，速算，心算，使中国国民基本的计算能力较强，这间接地强化了普通民众的脑力，提高了大家的处理数量的速度和熟练度。从小学高年级开始强调数列，递推，整个中学不间断的古典几何教学，使中国学生的逻辑推演能力都比较扎实。这两项能力的培养是融入了我们的9年义务教育，12年基础教育的，开展的都很成熟，各级选拔考试也都予以足够的重视，这是“中国人数学好”这一论断的基础，的确，这是我们数学教育优势最大的一个阶段。

再谈中国高等数学教育。中国的高等数学教育的特点是科目多，时间足，强度大，各个专业对必修数学都给予了足够的分量。不论是理工农医还是社法商政，基本的微积分，线性代数，概率统计的教学分量都是有保证的。我们的大学生基本的运算，推理，知识结构，数学思想都是具备的，尤其是理工科学生的数学基本功拿到世界任何一个地方都是领先的，尤其是基础教育阶段打下的底子对大学学习的帮助很大。但中国高等数学教育BKC的地方也很多，比如课程的多样性差，和本专业衔接度差，体系过于繁冗不够灵活，内容显得陈旧与应用联系不够紧密，计算机化的程度不够等等，这些地方是我们同美，欧相比落后的地方。数学作为工具学科，在不同学科不同专业的教授应该是多样化很强的，但我们国家“一刀切”很严重，把数学教学和各个具体专业结合起来搞的意识不强。

总结来说，就是我们国家数学专业的数学教育搞的比非数学专业的公共数学教育好，理科搞的比工科文社科好，笔头数学搞的比计算机数学好，理论数学搞的比应用数学好，连续数学搞的比离散数学好，尖端数学搞的比普及数学好，一流大学和外国教学水平差距小，二，三流大学教学水平差距大。其实我认为笼统地说“xx国人数学没有xx国人好”这种评断本身就是不科学的，不同档次，不同指向的人群的数学能力都要具体去区分。如果非要说个总论，由于欧州半数左右地区，美国大部分地区的大学生以前的基础实在差了些，尽管它们的教学水平高，但从学生的实际表现来看我们整体还是要强一些，一流大学本科生的数学水平的话，如果算尖子差不多，算大部分的话我们就更要强一点。到了研究生阶段，我们底子薄，人才少，国际交流晚，作为工业科技后起的穷国你要比绝对水平是不公平的。相对于那些依赖工业环境，硬件条件的实验学科，中国的数学教育，哪怕是研究水平和国际一流差距是最小的，进步也是较快的之一，尤其这个东西不需要国家进行“xxx专项工程”这样过大的专门投入。

第四谈中国的功利数学教育。中国很强调数学教育，那些眼光长远的泰斗科学家们都很重视中国的数学教育。很多科学家回国，第一件事就是询问本专业相关的数学教学，甚至亲自编写本专业专用的数学讲义来帮学员补课。但就是这种过度重视，使我们国家的数学教育功利性很强。各种选拔考试，各种升学都和数学挂钩，这种利益就驱动竞赛，夏令营，考试层出不穷，知识的过分提前传授，过多重复性训练，非主流的小众解题技巧训练等等因素成了在这些竞赛和考试中扮演“区分度”的重要因素。

竞赛本身是好的，既提供了出众者的一个继续学习的机会，也能够激发大家的兴趣。那些能够在国际奥赛，国家奥赛脱颖而出的，肯定是脑袋聪明，天资优异的人，这些人即使后来没有从事数学工作，但他们优秀的数字直觉和严密的逻辑推理能力也使他们在后来的工作里如鱼得水，在金融，商业，工业等等行业都成为翘楚。如果“金牌”们都是草包，常年向世界一流学府输送研究生的北大清华等等名校为什么排成队的争这些“金牌”，那些世界一流大学为什么4年后也还是争着要这些当年的“草包”呢？问题在于竞赛本来是个小众的事，不要一股脑推广到大众，不管什么孩子，什么资质都去送培训，报竞赛，部分地区和机构把竞赛成绩随意地固化为升学或选拔的要素，这些种种利益驱动的行为才是伤害我们这些孩子的根本。这个错不要都灌到竞赛，灌到数学教育的头上，怒骂中国的孩子们都是“解题高手”，“实用白痴”，种种不理性的情绪对解决问题没有任何帮助。

最后如果说一般基础学科，物理化学等等，大致的情况和数学差不多。我们主要就是启蒙早，强制性要求多，知识量大，训练严格，有选拔驱动，所以基本共好。但实践机会不够，应用性不强，多样化不足，计算机和工业接轨水平低，这还是固有的毛病。中国本科出国读研究生往往是最如鱼得水的。国内的非数学的基础学科科研水平，那就BKC得大了。

其实还是建议大家不要这样直接笼统的比，是平均比平均？2千万人的平均和13亿人的平均咋比？是比小学？小学要求3位数乘除手算和小学两位数加法都要用计算器的怎么比？比中学？国家普及大纲要求几何证明和到了高中毕业还不知道球体公式的怎么比？尖子比尖子？差生比差生？科学家比科学家？真的那样笼统的比很不科学。过度乐观的护短行为和过度悲观的谩骂行为，一般都是弱者，愚民，FF，JY以及其他别有用心的人才持有的不理性观点。你写论文的话，还是要严谨点好。

最后一句话，我国高中数学与高等数学教育的鸿沟，和欧洲相比差不多，都还算合理。美国那个差距就很大很大了，少数优质高中还行，你看国家整体大纲什么的，那差距就很大了。

简短说几句，希望对你有帮助。这个问题太大，很难扼要地说清楚，抱歉。

我们的大学生基本的运算，推理，知识结构，数学思想都是具备的，尤其是理工科学生的数学基本功拿到世界任何一个地方都是领先的，尤其是基础教育阶段打下的底子对大学学习的帮助很大。
==========================
吹吧，我们的高等数学只能叫解题高手，世界领先就更谈不上了。


一流大学和外国教学水平差距小，二，三流大学教学水平差距大
=============
国内大学教学，211和985差别不大。


中国很强调数学教育，那些眼光长远的泰斗科学家们都很重视中国的数学教育。
====================
没错一群搞空气动力的把他们自己对于科研的理解强压在别人身上。


中国本科出国读研究生往往是最如鱼得水的
===========================
别，这个话就不要说了。


数学研究，数学专业教学，国内大学本科在世界上排不上号。

ls，别小看解题高手。杨振宁的回忆录里说，他在西南联大的时候是一本一本地做题，到了美国投入一线科研的时候就发现当年大量的习题训练给自己打下了坚实的基础。好的大学的教授都非常强调做习题。就我个人的体会而言，一本书学完了，哪怕对上边每个字都烂熟于心，自己也总觉得不踏实；只有进行相当数量的习题练习后（在这个过程中会纠正错误的认识，学习应对各种问题的技巧），才敢说真的学懂了。
顺便问一下ls，你说“数学研究，数学专业教学，国内大学本科在世界上排不上号。”看来你对国内和世界的数学研究情况很了解了，难道也是数学专业的？

newhousepig 发表于 2011-6-19 00:28
数学教育是个很大的概念，要区分来说。
   
    首先说数学的普及，这一点来说，没有任何一个国家是 ...
我感觉我们国家教育有一个比较大的问题就是在学科教育时受教育者不知道比他所学更高层学科的内容或内涵是什么，所以有点盲目性的感觉。另外，受教育时太强调背公式去解题（高数尤其这样，微积分求导公式一大把时间都花在背书去了，这和八股有何区别？），不强调这个原理或公式是怎么推导或产生的，使学生觉得枯燥，从而降低学习兴趣。

eeyylx 发表于 2011-6-19 00:57
我们的大学生基本的运算，推理，知识结构，数学思想都是具备的，尤其是理工科学生的数学基本功拿到世界任何 ...
最后一次在数学教育这个问题上回你的帖了, 实在太费神.

1. 满瓶水不响, 半瓶水咣当. 我不知道阁下是什么数学水平, 我学专业数学7年了, 我绝对不敢评价谁谁谁等仅是"解题高手", 至于是不是世界领先, 我想这个自有公论, 用不着你我评价. 该有的信心还是要有.

2. 国内大学比优劣问题我们最好不谈, 谈了容易影响和谐, 你说是不是?

3. 钱三强搞空气动力的? 茅以升搞空气动力的? 钱伟长搞空气动力的? 王淦昌搞空气动力的? 邓稼先搞空气动力的? 查谦搞空气动力的? 李德平搞空气动力的? 浩如星海的科学家都强调数学教学, 看来我们是举国体制地搞空气动力.

4. 这个问题的回答同2。我们不因个人放卫星就说大家集体移民银河系，也不要因为老鼠屎坏粥而说粥不好。

5. 数学研究，数学专业教学和国内大学本科（的什么）在世界排不排得上号的问题，回答同2，4。差距存在，优势保持，就可以了。

我从小在海归堆里长大的，报国的见过，创业的见过，待业移民的数不胜数，但当国内“永远落后闭塞”，当国内人都傻都纯，“国内xxx跟国外xxx相比什么都不是”，“中国的xxx放到世界上号都排不上”的论调也是身经百战，耳朵都听麻了，血液都免疫了。我希望中国国民都有点大国国民的气度，承认不如人的，但也合理评价自己，进退有据，不卑不亢，说话经过大脑，不以己只娱而乐众人，不以己之忿而怨天下，那就很好了。

chengzhibo 发表于 2011-6-19 01:32
太强调使用而淡化原理或公式是怎么产生的，会从本质上磨去一个人的科学精神，这样的人走不远的。
我说说我的体会吧，大一的时候我的观点真的和你一样，一定要把各种原理弄得一清二楚。可不久就感到有心无力，如果真的要做到这一点，我需要到图书馆查许多书，翻看各种专业的高年级的乃至研究生的教材，实在是忙不过来。后来我才意识到术业有专攻，毕竟不是这个专业的。既然前人已经把问题研究得非常透彻，给出了完美的解答，那我就直接拿过来用就行了。当然用之前一定要弄明白原理，搞清楚原理才能真正的会用。只是会用了以后就没必要再过于强调原理了。
举个例子，比如数学中说到函数一定要讨论是不是可微。我是学物理的，我的老师就说，我们不管它可不可微，直接就按照可微来处理。如果结果和实验一致就说明算对了，不一致再回过头来检查是不是有问题。这是我们学科处理问题的方法。

欢乐多 发表于 2011-6-19 01:47
我说说我的体会吧，大一的时候我的观点真的和你一样，一定要把各种原理弄得一清二楚。可不久就感到有心无 ...
数学的“高深”很大程度上依托于“简单”。数学在遇到问题时，常常不是迎难而上，而是降低难度，讨论函数可微性就是这样。打个比方。我们要从甲地去乙地，如果每条路都能到达目的地，那么就不用花精力研究地图，看准大方向走就可以。反之，如果有些路不通，就要研究地图了，难度显然要大得多。处处可微的函数就相当于前一种路况，而存在不可微点的函数就相当于后一种情况。

我在美国一直做大学的助教，最近尤其做了一些专业基础课的助教
我的感觉是，美国大学生的基本知识、技巧等等相当于国内高中所教的部分的确实是很差；但是至少在我现在所在的大学，比较高级的某些课的知识面和解题要求要超过国内的排名相同的大学。
比如我见过不知道浮力=水密度×重力加速度×排水体积的物理专业的学生，但是他们上的电动力学的书和作业题的数量和难度超过我们当时的，基本上都是我改完了他们的作业还是自己做不出他们的题（当然他们也都有答案可抄的）。基本上本科是他们拼命程度比较高的时期。

我在美国一直做大学的助教，最近尤其做了一些专业基础课的助教
我的感觉是，美国大学生的基本知识、技巧等等相当于国内高中所教的部分的确实是很差；但是至少在我现在所在的大学，比较高级的某些课的知识面和解题要求要超过国内的排名相同的大学。
比如我见过不知道浮力=水密度×重力加速度×排水体积的物理专业的学生，但是他们上的电动力学的书和作业题的数量和难度超过我们当时的，基本上都是我改完了他们的作业还是自己做不出他们的题（当然他们也都有答案可抄的）。基本上本科是他们拼命程度比较高的时期。

huor 发表于 2011-6-21 14:20
我在美国一直做大学的助教，最近尤其做了一些专业基础课的助教
我的感觉是，美国大学生的基本知识、技巧等 ...
对的, 他们的advanced courses是比国内要好的, 到了quantum级别的东西国内的师资, 设备, 经验, 底蕴等等就显得不够了.

欧洲上大学的概念跟中国不能比啊..........

切身感受很赞同这个观点

国内数学和国外真的没法比……数学系的飘过。

我觉得，你说的高数强调背公式，还真不能说不对。当然公式的推导原理什么的，书上都有，高数课上肯定也都会讲。不过这些原理、公式的推导之类的对于绝大多数非数学专业的人也就是了解一下就可以了，真正有用的还就是公式。我到了高年级以后忘了一个积分公式，于是回去查书，我肯定也只会查一下这个公式是什么，至于这个公式怎么来的毫不关心。毕竟对绝大多数专业的人来说数学就是一个工具，只要会用就可以了。真不值得强调公式的推导什么的。
而且，就我个人的体会，积分那一块，是需要花时间背公式的；不过更多的时间恐怕都花在怎么运用这些公式上了。

chengzhibo 发表于 2011-6-19 01:17
我感觉我们国家教育有一个比较大的问题就是在学科教育时受教育者不知道比他所学更高层学科的内容或内涵是 ...

我觉得，你说的高数强调背公式，还真不能说不对。当然公式的推导原理什么的，书上都有，高数课上肯定也都会讲。不过这些原理、公式的推导之类的对于绝大多数非数学专业的人也就是了解一下就可以了，真正有用的还就是公式。我到了高年级以后忘了一个积分公式，于是回去查书，我肯定也只会查一下这个公式是什么，至于这个公式怎么来的毫不关心。毕竟对绝大多数专业的人来说数学就是一个工具，只要会用就可以了。真不值得强调公式的推导什么的。
而且，就我个人的体会，积分那一块，是需要花时间背公式的；不过更多的时间恐怕都花在怎么运用这些公式上了。

欢乐多 发表于 2011-6-19 01:28
我觉得，你说的高数强调背公式，还真不能说不对。当然公式的推导原理什么的，书上都有，高数课上肯定也都 ...
太强调使用而淡化原理或公式是怎么产生的，会从本质上磨去一个人的科学精神，这样的人走不远的。

chengzhibo 发表于 2011-6-19 01:17
我感觉我们国家教育有一个比较大的问题就是在学科教育时受教育者不知道比他所学更高层学科的内容或内涵是 ...
中国大学教公共数学基本是数学系毕业的比较差的那种，，我们得反省。你说的都是实话，我自己都深有体会。

工科生表示，本科数学压牛牛20分不是问题

纯粹滴工科生感觉，至于理科，本科以后滴就不知道了

纯粹滴工科生感觉，至于理科，本科以后滴就不知道了

欢乐多 发表于 2011-6-19 01:47
我说说我的体会吧，大一的时候我的观点真的和你一样，一定要把各种原理弄得一清二楚。可不久就感到有心无 ...
我所说的探究原理非单指数学，物理也一样啊，比如电粒常数是怎么推导出来的就需要最一般的常识嘛。你做实验求电粒常数时得出一大堆数据，最大公约数自然是电粒常数了这就是事物的基本原理嘛.
不去究其原理只能适合做工了，很难有原创的东西出来。

chengzhibo 发表于 2011-6-19 01:55
我所说的探究原理非单指数学，物理也一样啊，比如电粒常数是怎么推导出来的就需要最一般的常识嘛。你做实 ...
物理专业的表示不理解“电粒常数”，我猜你想说的是单位电荷量吧？
单位电荷量是通过密立根油滴实验测出来的，不是推导出来的。

欢乐多 发表于 2011-6-19 01:58
物理专业的表示不理解“电粒常数”，我猜你想说的是单位电荷量吧？
单位电荷量是通过密立根油滴实验测出 ...
我说得是单位电荷量,抱歉年代久远忘记物理名词了,当时这个实验是得不出这么小的数据的,精度不够,现在不知道怎么样了.
单位电荷量的结果是要用公约数去推导的,实验结果都是倍数关系嘛.

chengzhibo 发表于 2011-6-19 02:02
我说得是单位电荷量,抱歉年代久远忘记物理名词了,当时这个实验是得不出这么小的数据的,精度不够,现在不知 ...
这么小的数据还真是上个世纪初的实验测出来的，等我查一查。

chengzhibo 发表于 2011-6-19 02:02
我说得是单位电荷量,抱歉年代久远忘记物理名词了,当时这个实验是得不出这么小的数据的,精度不够,现在不知 ...
1910年密立根就给出了e=1.63e-19C的数据，之后又不断改进实验得到更精确的结果，现在的结果也不过是1.60e-19C而已。这个实验中也没有用到什么高深的数学推导，高中甚至初中的数学就足以应付（其实那个年代的许多实验物理学家的数学功底也不算好）。
回到一开始你我的分歧，就这个单位电荷量来说，我是学物理的，自然应该充分了解它的来历；但是对于非物理专业的人来说，只需要上课的时候听一听密立根这个名字，像你一样了解一下公倍数之类的，就足够了。对非物理专业的人来说，真正有用的也就是e=1.6e-19C这个数字而已。还真没必要要求一个比如计算机的学生对密立根实验了解得多么透彻。
当然这只是我的个人看法了。如果个人足够勤奋，精力旺盛的话，充分地了解原理性的知识也总不是坏事。

stellwah 发表于 2011-6-19 01:48
工科生表示，本科数学压牛牛20分不是问题
GDH，天天上网闲逛，这不摆明欺负人家牛牛 的智商

我的意思是我们长久以来的教育方式使我们忘记了科学是怎么产生的，科学的产生本来就是从究源开始嘛，任何专业学习都不应该偏离这个学习思想的，当然，由于人的精力同意你非专业可以不去深究某些专业的原理等，我要说的是我们现在的教育使绝大多数受教育者没有探究科学本来面目的精神了，这就是教育失败的地方。
你会看到，原创的东西总是外来的！
应该检讨一下的。

欢乐多 发表于 2011-6-19 02:22
1910年密立根就给出了e=1.63e-19C的数据，之后又不断改进实验得到更精确的结果，现在的结果也不过是1.60e ...

我的意思是我们长久以来的教育方式使我们忘记了科学是怎么产生的，科学的产生本来就是从究源开始嘛，任何专业学习都不应该偏离这个学习思想的，当然，由于人的精力同意你非专业可以不去深究某些专业的原理等，我要说的是我们现在的教育使绝大多数受教育者没有探究科学本来面目的精神了，这就是教育失败的地方。
你会看到，原创的东西总是外来的！
应该检讨一下的。

欢乐多 发表于 2011-6-19 01:14
ls，别小看解题高手。杨振宁的回忆录里说，他在西南联大的时候是一本一本地做题，到了美国投入一线科研的时 ...
我们同事搞这个的多，没有看出国内有哪方面出类拔萃的数学成果

杨某人搞理论物理，他必须要很好的数学基础，但是他搞的那个行业和大部分理工科人员相比实在太少了，1:1000的比例。


都听他的全中国学生学高等物理，大家一起完蛋

chengzhibo 发表于 2011-6-19 02:33
我的意思是我们长久以来的教育方式使我们忘记了科学是怎么产生的，科学的产生本来就是从究源开始嘛，任 ...
看来你我并没有根本的分歧，我想说的只是专业以外的原理性的东西要能放得下；本专业的东西自然不能含糊。其实没必要这么悲观，至少我的老师都是十分注重本专业的原理性知识的教学的。比如教量子力学的老师，花了大量的时间讲了量子力学的起源，有哪些科学家作出了贡献，他们走过哪些弯路，现在的理论建立在哪些原理之上，这些原理的实验基础是什么……反倒是如何运用这些理论计算问题相对的有些忽视了。比如电动力学里我们只要求求解球形区域的问题（这在理论上是最重要的），而实际中时常用到的其它形式的问题都不作要求。毕竟现在专业分工得很细，其它部分就是工科生的任务了。

中国的教育体系属于普及型教育，优点在于能让大多数人受到较高水平的教育，缺点在于不利于因材施教。钱学森接受的是精英教育，杨振宁至少有家学渊源，所以拿他们的成绩批评中国现在的教育不恰当。
我认为数学教师应该了解数学史，最好有物理和工程方面的知识背景，否则容易把数学教成文字游戏。

讨论畅谈的帖子都应该学习这个帖子，有事说事，就事论事，大家理性辩论，和而不同。

讨论畅谈的帖子都应该学习这个帖子，有事说事，就事论事，大家理性辩论，和而不同。

木瓜 发表于 2011-6-19 08:38
中国的教育体系属于普及型教育，优点在于能让大多数人受到较高水平的教育，缺点在于不利于因材施教。钱学森 ...
普及型教育水平就不可能高。我们的高等教育说穿了就是用嘴快的速度，最低的成本
培养出标准化的人。

数学老师？？他们能有什么工程经验？就算有也不敢因材施教。高校的教学大纲还是有的，
你改了，人家考研怎么办？国家本科教学评估怎么办？

楼主你没做过GRE数学题？

不错的文章，学习一下。

huor 发表于 2011-6-21 14:20
我在美国一直做大学的助教，最近尤其做了一些专业基础课的助教
我的感觉是，美国大学生的基本知识、技巧等 ...
我的感觉也差不多，越是专业课难度差别越小。因为全世界都
只学这么几种东西。你总不能自己发明一个理论来教大学生。

但是他们学的量不多，很多国内讲的他们都没有涉及到。但是这并不
影响以后从事的工作，只要有基本概念自己看看书就会了。

我是工科生。

huor 发表于 2011-6-21 14:20
我在美国一直做大学的助教，最近尤其做了一些专业基础课的助教
我的感觉是，美国大学生的基本知识、技巧等 ...
我辅导过他们的实验课，毕业设计，我操。

已经是国内研究生水平了。费脑子。

中外工科尖子生数学水平比拼
ZT一个老贴。为了比拼中外工科尖子生的数学水平，有一个人出了两道题，被另一人拿出去做了实验
http://lt.cjdby.net/thread-902450-2-1.html
结果如下：
“我用你这两道题做了一个测试：分别让不同国家的学生做，统计情况如下：

中国学生3人，分别来自清华土木系，清华机械系，西交自动控制系。这三人全部是各自专业前两名的尖子。无一人答得上来。只有清华土木系的依稀记得极小多项式的定义，而相关性质一窍不通。

西班牙巴塞罗那大学4人，分别来自机械、精密仪器和航空电子等专业，有2人给出了正确解答，剩下的2人有一些思路。

法国巴黎中央理工大学4人，全部给出了正确解答，但过程较繁琐。

德国慕尼黑理工大学2人，有一人给出了正确解答，另一人答出了第一题，第二题有一些思路。”
以下解答来自巴塞罗那电子工程系某学生，是目前最简洁的解法：
“
1
B = exp(log(A) / 2)
这里 exp 和 log 用级数定义。

2
如果 Aa = ka 且 a 不是 0，则 ABa = BAa = kBa。
因为 A 为单纯方阵，A的 特征值为 k 的特征向量之间只差一个倍数，所以 Ba 是 a 的一个倍数
假设 Ba = k'a。
如果有 b 使得 Ab = kb + a，则 ABb = BAb = kBb + Ba = kBb + k'a。所以 Bb = k'b + k''a。
如果有 c 使得 Ac = kc + b，则 ABc = BAc = kBc + Bb = kBc + k'b。所以 Bc = k'c +
k''b + k'''a。
以此类推。
取 A 的一个若而当标准形，在此组基下 B 在 A 的每一个若而当块的位置之外是零，
B 在 在 A 的每一个若而当块的位置上是一个下三角矩阵，而且每条对角线的值相同（分别是 k'，k''，k'''，等等）。
所以与 A 交换的矩阵组成一个 n 维向量空间。

与此同时，因为 A 的最小多项式阶数为 n， I, A, A^2, ..., A^(n - 1) 线性无关，
所以 I, A, A^2, ..., A^(n - 1) 张成一个 n 维线性空间。

”

中外工科尖子生数学水平比拼
ZT一个老贴。为了比拼中外工科尖子生的数学水平，有一个人出了两道题，被另一人拿出去做了实验
http://lt.cjdby.net/thread-902450-2-1.html
结果如下：
“我用你这两道题做了一个测试：分别让不同国家的学生做，统计情况如下：

中国学生3人，分别来自清华土木系，清华机械系，西交自动控制系。这三人全部是各自专业前两名的尖子。无一人答得上来。只有清华土木系的依稀记得极小多项式的定义，而相关性质一窍不通。

西班牙巴塞罗那大学4人，分别来自机械、精密仪器和航空电子等专业，有2人给出了正确解答，剩下的2人有一些思路。

法国巴黎中央理工大学4人，全部给出了正确解答，但过程较繁琐。

德国慕尼黑理工大学2人，有一人给出了正确解答，另一人答出了第一题，第二题有一些思路。”
以下解答来自巴塞罗那电子工程系某学生，是目前最简洁的解法：
“
1
B = exp(log(A) / 2)
这里 exp 和 log 用级数定义。

2
如果 Aa = ka 且 a 不是 0，则 ABa = BAa = kBa。
因为 A 为单纯方阵，A的 特征值为 k 的特征向量之间只差一个倍数，所以 Ba 是 a 的一个倍数
假设 Ba = k'a。
如果有 b 使得 Ab = kb + a，则 ABb = BAb = kBb + Ba = kBb + k'a。所以 Bb = k'b + k''a。
如果有 c 使得 Ac = kc + b，则 ABc = BAc = kBc + Bb = kBc + k'b。所以 Bc = k'c +
k''b + k'''a。
以此类推。
取 A 的一个若而当标准形，在此组基下 B 在 A 的每一个若而当块的位置之外是零，
B 在 在 A 的每一个若而当块的位置上是一个下三角矩阵，而且每条对角线的值相同（分别是 k'，k''，k'''，等等）。
所以与 A 交换的矩阵组成一个 n 维向量空间。

与此同时，因为 A 的最小多项式阶数为 n， I, A, A^2, ..., A^(n - 1) 线性无关，
所以 I, A, A^2, ..., A^(n - 1) 张成一个 n 维线性空间。

”

风中雪翎 发表于 2011-6-22 12:35
中外工科尖子生数学水平比拼
ZT一个老贴。为了比拼中外工科尖子生的数学水平，有一个人出了两道题，被另一 ...
这两题我根本不会

风中雪翎 发表于 2011-6-22 12:35
中外工科尖子生数学水平比拼
ZT一个老贴。为了比拼中外工科尖子生的数学水平，有一个人出了两道题，被另一 ...
物理系的学生惭愧地表示，不知道最小多项式。
找出数学系的高等代数，发现最小多项式在若当标准型那一章有介绍。
但翻出我们当时学线性代数的教材，却没有找到有关最小多项式的内容。

我已经将自己学的东西全抛掉了。在生活里面，基本上都用不到，需要用的话不会问百度，百度都会告诉。以至于我被人说了很多次。

现在的孩子太浮躁，不管是学习还是游戏，都希望自己用更短的时间，达到更好的成绩。深怕别人不知道自己是天才。

不好说是工科还是理科，数学没学好