“掉”到地球另一端需要多久?

来源:百度文库 编辑:超级军网 时间:2024/03/29 17:28:08


亚历山大·科罗茨(Alexander Klotz)是加拿大麦吉尔大学(McGill University)的一名学生,他近日对一个由来已久的物理问题进行了计算,即如果地球中心被挖了一条通道的话,一个人需要花多长时间才能从这一头“掉落”到通道的那一头。{:soso_e103:}  此前,人们给出的答案大多是42分钟,但他得出的结果却是38分钟,并将自己的论证、计算过程和结论发表在了期刊《美国物理学杂志》( The American Journal of Physics)上。

如果有人设法挖了一条贯穿地球的通道,并成功“掉”了进去,他需要多长时间才能到达通道的另一端呢?这是一个每年都会向学生提出的问题,且大家算出的答案大多是42分钟。但这真的是正确答案吗?科罗茨认为不是,并用数学的方法给出了证明。

在得出42分钟这个答案时,人们往往将重力变化产生的影响考虑了进去(由空气引起的摩擦力在此不予考虑),因为人在接近地心时,重力会逐渐减弱;而随后远离地心时,重力逐渐加强,这时人体就相当于沿着与重力相反的方向向“上”飞去。人们普遍认为,在前半程“坠落”过程中产生的速度足以让人克服重力,来到通道的另一端。

但科罗茨认为,应当将地球内部密度的变化考虑进去。已经有很多研究显示,地心处的密度比地壳要大很多,而这无疑会对坠落过程产生影响。他使用了一系列地震勘探数据,计算出地球内部不同深度处的密度,从而对上述问题给出了一个更精确的答案。最终的结论是,一个人只需38分钟(零11秒)便可穿越地球,而不是42分钟(零12秒)。

有趣的是,科罗茨还注意到,就算假定全程重力都保持地面水平不变,计算得出的结果同样也是38分钟。


亚历山大·科罗茨(Alexander Klotz)是加拿大麦吉尔大学(McGill University)的一名学生,他近日对一个由来已久的物理问题进行了计算,即如果地球中心被挖了一条通道的话,一个人需要花多长时间才能从这一头“掉落”到通道的那一头。{:soso_e103:}  此前,人们给出的答案大多是42分钟,但他得出的结果却是38分钟,并将自己的论证、计算过程和结论发表在了期刊《美国物理学杂志》( The American Journal of Physics)上。

如果有人设法挖了一条贯穿地球的通道,并成功“掉”了进去,他需要多长时间才能到达通道的另一端呢?这是一个每年都会向学生提出的问题,且大家算出的答案大多是42分钟。但这真的是正确答案吗?科罗茨认为不是,并用数学的方法给出了证明。

在得出42分钟这个答案时,人们往往将重力变化产生的影响考虑了进去(由空气引起的摩擦力在此不予考虑),因为人在接近地心时,重力会逐渐减弱;而随后远离地心时,重力逐渐加强,这时人体就相当于沿着与重力相反的方向向“上”飞去。人们普遍认为,在前半程“坠落”过程中产生的速度足以让人克服重力,来到通道的另一端。

但科罗茨认为,应当将地球内部密度的变化考虑进去。已经有很多研究显示,地心处的密度比地壳要大很多,而这无疑会对坠落过程产生影响。他使用了一系列地震勘探数据,计算出地球内部不同深度处的密度,从而对上述问题给出了一个更精确的答案。最终的结论是,一个人只需38分钟(零11秒)便可穿越地球,而不是42分钟(零12秒)。

有趣的是,科罗茨还注意到,就算假定全程重力都保持地面水平不变,计算得出的结果同样也是38分钟。
这个很有意思
要编程算的
当时大学课程小论文怎么没想到这个题目
这个,应对赤道、极点还是北回归线开跳分别计算,这样才能有更精确的结果。尤其是从中低纬度开跳的人们,还要对人体与洞壁的摩擦系数做出预估,因为从这开跳的人跟洞壁发生亲密接触是一件显而易见的事情。
想到了大刘的小说《地球大炮》
我想的是向着地心时加速度是g,穿过地心以后加速度变成-g,就这样
miaomiaomiao 发表于 2015-4-6 20:03
这个,应对赤道、极点还是北回归线开跳分别计算,这样才能有更精确的结果。尤其是从中低纬度开跳的人们,还 ...
肯定是不考虑任何摩擦的

纬度的差异只是区别在距离吧,我觉得这可能还不如地球内部密度的不均匀的影响大
我想的是向着地心时加速度是g,穿过地心以后加速度变成-g,就这样
加速度逐渐减少。到地心是0。
如果考虑空气阻力,人永远都出不来,停止震荡后只能留在地心。

vv19801981 发表于 2015-4-6 19:56
这个很有意思
要编程算的
当时大学课程小论文怎么没想到这个题目


不用编程。

ρ是地球密度,则内部重力是g=-(4/3)πGρr;
如果地球密度是一个常数,则(4/3)πGρ也是一个常数(k/m),g=-(4/3)πGρr就变成a=-(k/m)*x!
——胡克定理,简谐振动,T=2π*(2m/k)^0.5=(6π/G/ρ)^0.5,
所以,跌到地心的时间t=T/4=(3π/8/G/ρ)^0.5=1789.33秒=29分50秒!
在地心的速度是v=R*(k/m)^0.5=R*((4/3)πGρ)^0.5=7910m/s,刚好是第一宇宙速度。
从另一边跃出是59分39秒。

这个也就是高中物理的干活,不用编程。



vv19801981 发表于 2015-4-6 19:56
这个很有意思
要编程算的
当时大学课程小论文怎么没想到这个题目


不用编程。

ρ是地球密度,则内部重力是g=-(4/3)πGρr;
如果地球密度是一个常数,则(4/3)πGρ也是一个常数(k/m),g=-(4/3)πGρr就变成a=-(k/m)*x!
——胡克定理,简谐振动,T=2π*(2m/k)^0.5=(6π/G/ρ)^0.5,
所以,跌到地心的时间t=T/4=(3π/8/G/ρ)^0.5=1789.33秒=29分50秒!
在地心的速度是v=R*(k/m)^0.5=R*((4/3)πGρ)^0.5=7910m/s,刚好是第一宇宙速度。
从另一边跃出是59分39秒。

这个也就是高中物理的干活,不用编程。


vv19801981 发表于 2015-4-6 19:56
这个很有意思
要编程算的
当时大学课程小论文怎么没想到这个题目
如果中国的大学物理沦落到这个水平,那就惨了。
如果大学都不会这个就更惨了。


miaomiaomiao 发表于 2015-4-6 20:03
这个,应对赤道、极点还是北回归线开跳分别计算,这样才能有更精确的结果。尤其是从中低纬度开跳的人们,还 ...
没读题,人家题目连空气阻力都不计了,不要拉上个管壁。
读题都不会,不是读死书,该读书死了。


H2SamHon 发表于 2015-4-7 12:38
如果中国的大学物理沦落到这个水平,那就惨了。
如果大学都不会这个就更惨了。
要分地球各层密度算的 肯定要编程  你手算也可以 很麻烦
H2SamHon 发表于 2015-4-7 12:37
不用编程。

ρ是地球密度,则内部重力是g=-(4/3)πGρr;

你看lz文章 地球不是均质球体
H2SamHon 发表于 2015-4-7 12:40
没读题,人家题目连空气阻力都不计了,不要拉上个管壁。
读题都不会,不是读死书,该读书死了。
把空气阻力算上都出不来了
vv19801981 发表于 2015-4-7 13:20
你看lz文章 地球不是均质球体
那个发文的鬼佬,第一步是均质球近似,之后才是密度不均匀的。
我只是指出他第一步错了。
而且第一步用简单谐振子的方法代替,一是简单,二是美观,三是可以方便进一步研究。

密度不均匀的情况下,可以用变屈强系数弹簧振子代替,
这种情况下要用高数,但同样不用编程。

他楼主和那个加拿大学生第一步没做好,一步错,步步错。


vv19801981 发表于 2015-4-7 13:20
要分地球各层密度算的 肯定要编程  你手算也可以 很麻烦
变屈强系数弹簧振子代替,可以有数学解,不用编程。


SSN19 发表于 2015-4-7 13:21
把空气阻力算上都出不来了
在地心的速度达到第一宇宙速度,
如果把空气阻力算上,则到一半就烧掉了,烧成的灰会慢慢陨落地心。
H2SamHon 发表于 2015-4-7 13:29
那个发文的鬼佬,第一步是均质球近似,之后才是密度不均匀的。
我只是指出他第一步错了。
而且第一步用 ...
变屈强系数的系数 你还是要算的
当然你不用编程算没问题
就像算大气辐射通量一样 你不用计算机是可以算 但是很烦
我说的是大学课程论文  编个程算算也蛮有意思的
vv19801981 发表于 2015-4-7 15:03
变屈强系数的系数 你还是要算的
当然你不用编程算没问题
就像算大气辐射通量一样 你不用计算机是可以 ...
用公式写出来更象做论文,用编程仿真更象做实验;
中国是奥数的天下,没有数学公式的论文在中国拿不出手吧?



超大新人奉献计算过程,请大神评价
大家在讨论《全面回忆》里面的坠道咩
H2SamHon 发表于 2015-4-7 12:37
不用编程。

ρ是地球密度,则内部重力是g=-(4/3)πGρr;
其实还有一个办法,就是对比第一宇宙速度在地球表面运动的卫星,将其速度和加速度都投影到这个地轴上,发现和这个坠落过程完全一样。只要会分解力的平行四边形就行。
后面,就是算地球表面的 卫星要多长时间绕半圈了。根据角速度=(g/r)的开方就得到了。
如果是不均匀的球体,也没关系,甚至不需要算,只看看地球表面的卫星需要多长时间,因为这种不均匀对它也是生效的。
如果考虑空气阻力,人永远都出不来,停止震荡后只能留在地心。
我也想说这个。如果忽略阻力,则到了另一头速度为零。
H2SamHon 发表于 2015-4-7 16:20
用公式写出来更象做论文,用编程仿真更象做实验;
中国是奥数的天下,没有数学公式的论文在中国拿不出手 ...
显然,从楼主文章中得出
在地球密度均匀和不考虑空气阻力的情况下
标准答案应该是42分钟多一点
你计算结果错误的可能性颇大
H2SamHon 发表于 2015-4-7 16:20
用公式写出来更象做论文,用编程仿真更象做实验;
中国是奥数的天下,没有数学公式的论文在中国拿不出手 ...
流体力学方程都是编程算的
论文中基本都要出现点公式,一般作为理论描述
现代物理很多问题必须用计算机算 解析法搞不定

Albertzyd 发表于 2015-4-7 17:46
超大新人奉献计算过程,请大神评价


就是这个。
我前面举的例,用简谐振子,那只能是在低振幅条件下才成立。
这个好,典型的奥数论文级,赞一个。

不过,楼主举的加拿大例子,他的原文说的是非均质地球内的穿越。
非均质地球主要是离地心3473km处的一个跃变,g由9.8变大到10.8,再往内才变小。
这个因素导致穿越时间短得多,是38.24分钟,这种情况下过地心的速度为9780米/秒。



Albertzyd 发表于 2015-4-7 17:46
超大新人奉献计算过程,请大神评价


就是这个。
我前面举的例,用简谐振子,那只能是在低振幅条件下才成立。
这个好,典型的奥数论文级,赞一个。

不过,楼主举的加拿大例子,他的原文说的是非均质地球内的穿越。
非均质地球主要是离地心3473km处的一个跃变,g由9.8变大到10.8,再往内才变小。
这个因素导致穿越时间短得多,是38.24分钟,这种情况下过地心的速度为9780米/秒。


hjfgcx 发表于 2015-4-7 19:40
其实还有一个办法,就是对比第一宇宙速度在地球表面运动的卫星,将其速度和加速度都投影到这个地轴上,发 ...
这个不行,这样玩出来的时间更长,是83分钟,差得太远了。
cruelworm 发表于 2015-4-8 01:29
显然,从楼主文章中得出
在地球密度均匀和不考虑空气阻力的情况下
标准答案应该是42分钟多一点
简谐振子的误差。
H2SamHon 发表于 2015-4-8 10:42
简谐振子的误差。
简谐振子……
你认为均匀地球的内部,重力大小与到地心的距离成正比
但实际是这样吗?
如何证明
cruelworm 发表于 2015-4-8 10:48
简谐振子……
你认为均匀地球的内部,重力大小与到地心的距离成正比
但实际是这样吗?
请回9楼看看。

H2SamHon 发表于 2015-4-8 10:41
这个不行,这样玩出来的时间更长,是83分钟,差得太远了。


谢谢关注,请再看看。这个计算出来的时间必然是83分钟的一半(卫星绕半圈)。
实际上,地球内部的密度变化难以知晓,而从卫星的运行状态却可狠容易的反推其内部的密度变化。
另外,除了过地轴的以外,实际上任何从内部穿过的直线,都是可以和它对应的,比如45度角直挖下去的话,刚好是卫星绕四分之一圈的时间。
H2SamHon 发表于 2015-4-8 10:41
这个不行,这样玩出来的时间更长,是83分钟,差得太远了。


谢谢关注,请再看看。这个计算出来的时间必然是83分钟的一半(卫星绕半圈)。
实际上,地球内部的密度变化难以知晓,而从卫星的运行状态却可狠容易的反推其内部的密度变化。
另外,除了过地轴的以外,实际上任何从内部穿过的直线,都是可以和它对应的,比如45度角直挖下去的话,刚好是卫星绕四分之一圈的时间。
hjfgcx 发表于 2015-4-8 12:37
谢谢关注,请再看看。这个计算出来的时间必然是83分钟的一半(卫星绕半圈)。
实际上,地球内部的密度 ...
布伦(1906~1976)
就读于奥克兰大学、新西兰大学,1946 年获英国剑桥大学博士学位。曾任澳大利亚悉尼大学应用数学教授。布伦在杰弗里斯的指导下,学术上成长很快。1935年布伦和杰弗里斯联名发表了《地震波的传播时间》一文,1940年编成了由他们两人合作的J-B走时表。其后布伦陆续发表了有关地震波走时、震相和地球内部结构、密度分布的论文约280篇。著有《地震学引论》、《地球的密度》等书。
http://baike.baidu.com/link?url= ... gHLp3CpfneORHcxmJlq


hjfgcx 发表于 2015-4-8 12:37
谢谢关注,请再看看。这个计算出来的时间必然是83分钟的一半(卫星绕半圈)。
实际上,地球内部的密度 ...
地球密度是内密外疏,这种结构刚好可以造成外部机械波的反射,反射相位由反射层的内外密度比决定,研究反射波可以了解内部的层式结构分布。

实际上几乎所有天体都是内密外疏的结构,地球只不过是离我们最近的一个天体而已;
有可能象地球一样进行内部结构研的天体还有月球、火星、金星、水星和固态的小行星;
气体行星也可以,但由于气体密度是连续变化的,最多只能探测到他的气/液(固)分界面;
太阳的内部结构也有人号称通过震波探测出来了,不过这个太阳的结果,我是不敢相信的。



hjfgcx 发表于 2015-4-8 12:37
谢谢关注,请再看看。这个计算出来的时间必然是83分钟的一半(卫星绕半圈)。
实际上,地球内部的密度 ...
卫星的轨道监测是反映不了球对称的结构变化的。
H2SamHon 发表于 2015-4-8 13:02
卫星的轨道监测是反映不了球对称的结构变化的。
谢谢补充。地震波是主要的方式,但比较间接。卫星轨道,除非在无穷远处,否则球体的内部不均匀是有影响的(虽然量级可能微小),你再考虑考虑,我看过你在牧夫天文发的帖子,你的水平应该很容易理解我说的。而且这种影响会直接反应在其速度和加速度上,而这正是我们描述运动状态所需要的。
hjfgcx 发表于 2015-4-8 13:16
谢谢补充。地震波是主要的方式,但比较间接。卫星轨道,除非在无穷远处,否则球体的内部不均匀是有影响的 ...
卫星轨道对球对称的层式结构差异不感冒。
但卫星对不对称结构则是十分敏感的。
比如:潮汐鼓包的峰-谷高度差只有数米,但可以给月球加速升轨;
高崇的山嵴会干扰卫星的轨道,但由于山体结构是星球中除大气海洋以外密度最小的物件,所产生的干扰极其有限。

如果一道山梁(密度2000kg/m^3)中藏一个超级巨型金矿(密度19260kg/m^3),那对卫星轨道的扰动就显现出来了。
但果地壳底下有一会黄金壳成,那对卫星轨道就没什么影响了。




H2SamHon 发表于 2015-4-8 02:38
就是这个。
我前面举的例,用简谐振子,那只能是在低振幅条件下才成立。
这个好,典型的奥数论文级, ...
谢谢大神指点,没这么夸张啦,我新人路过看到了就试试的...我学物理的,和奥数关系不大哈哈...这个模型如果弄复杂了就不是纸笔就可以搞出来的,要上计算机了...
H2SamHon 发表于 2015-4-8 13:46
卫星轨道对球对称的层式结构差异不感冒。
但卫星对不对称结构则是十分敏感的。
比如:潮汐鼓包的峰-谷 ...
我说的是内部的不均匀,注意用词。包含了不对称,以及密度的不对称,以及任何其它的东西,总之是不均匀。你举的例子是正确的。
zhuhao112 发表于 2015-4-6 20:22
想到了大刘的小说《地球大炮》
+1字数补丁
这是不是闲的蛋疼啊,有这技术也不会穿越地核啊,还不如找小行星去算,炸了也没事