【科普】飞机俯仰力矩和静稳定性公式

静稳和控制问题简直是月经，而且充满了误区
所以翻了下以前的东西，把几个公式贴出来，希望能帮助大家理解
注意： 这几个公式的变量名称可能和某些文献/教材的惯用名称不太一样
但是这几个公式推导的路子在实际应用中要比某些教科书中的好用的多

另外，基础知识我记得TSQ兄还是草根兄写过科普，我就不多说了




*首先为了简化问题我们忽略推力和阻力线与重心的高度差
为了计算方便升力线的位置不能画在升力中心，而必须画在气动中心
这样翼身体会有个初始力矩，但是不会有随着升力变化而变化的力矩
Cm0就是这个在翼身气动中心点上的零升力矩
Cmcg就是绕重心的俯仰力矩了，配平状态为零

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2014-4-13 04:30 上传

根据这个图很容易就能写个表达俯仰力矩M的公式
把俯仰力矩公式写出来之后除以1/2*Rho*V^2*S*c来去掉单位得到俯仰力矩系数公式（公式3），具体推导很简单而且特别有意思，不过估计没人喜欢看就省了
（图中的WBN是指wing body nacelle，空客版本喜欢用WFP wing fuselage pylon还是什么来着，一个意思，就是除去平尾的翼、身、发动机这一整坨）

注意，这个公式推导很有意思的部分在于如果把l定为平尾升力中心到重心的距离，推出来CL就是无尾翼身升力系数，即CL(WBN)，有些教科书这么写的
而在这个推导里我们用了平尾到翼身气动中心（aerodynamic Centre）的距离当作l，这样公式里的CL就是全机升力系数
这个很有意思，在初期设计飞机的时候你很难知道特定状态下翼身升力系数，尤其还不知道平尾尺寸和平尾升力系数的时候
但是图中这个公式可以直接用全机升力系数来算就简单多了，知道设计的飞行条件算全机升力系数太简单了

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公式3的物理解释：
全机绕cg俯仰力矩=零升俯仰力矩+重心距离翼身气动中心的距离*升力系数造成的俯仰力矩+机尾升力*力臂造成的俯仰力矩


公式3 拿dCl微分，得到dCM/dCL，即俯仰力矩系数随着升力系数（实际上就是迎角，因为CL = a*α）变化的变化量
随着升力系数变高，低头力矩（即负的CM）变高为静稳定性
所以我们定义如下：

静稳余度：kn = -dCM/dCL
hn即全机中立点，即静稳余度为0的点

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从hn的公式中就可以很容易看出，全机中立点等于翼身（WPN）气动中心的位置+平尾对稳定性的贡献
尾容系数即公式2，两翼面面积比乘以距离和弦长只比，基本上就是尾翼相对主翼有多大和杠杆有多大
a1/a是升力线斜率的比，即同样增加一定的迎角，两者升力系数增加的比例，dε/dα则是主翼对尾翼下洗造成的修正量

公式4是平尾升力系数的公式，包含了下洗影响，平尾，升降舵和配平片

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截图来源于讲义，版权属于UOB和M.J.C.

15楼聊了一下简单的飞控以及松杆稳定性，不能保证全部正确




静稳和控制问题简直是月经，而且充满了误区
所以翻了下以前的东西，把几个公式贴出来，希望能帮助大家理解
注意： 这几个公式的变量名称可能和某些文献/教材的惯用名称不太一样
但是这几个公式推导的路子在实际应用中要比某些教科书中的好用的多

另外，基础知识我记得TSQ兄还是草根兄写过科普，我就不多说了




*首先为了简化问题我们忽略推力和阻力线与重心的高度差
为了计算方便升力线的位置不能画在升力中心，而必须画在气动中心
这样翼身体会有个初始力矩，但是不会有随着升力变化而变化的力矩
Cm0就是这个在翼身气动中心点上的零升力矩
Cmcg就是绕重心的俯仰力矩了，配平状态为零

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根据这个图很容易就能写个表达俯仰力矩M的公式
把俯仰力矩公式写出来之后除以1/2*Rho*V^2*S*c来去掉单位得到俯仰力矩系数公式（公式3），具体推导很简单而且特别有意思，不过估计没人喜欢看就省了
（图中的WBN是指wing body nacelle，空客版本喜欢用WFP wing fuselage pylon还是什么来着，一个意思，就是除去平尾的翼、身、发动机这一整坨）

注意，这个公式推导很有意思的部分在于如果把l定为平尾升力中心到重心的距离，推出来CL就是无尾翼身升力系数，即CL(WBN)，有些教科书这么写的
而在这个推导里我们用了平尾到翼身气动中心（aerodynamic Centre）的距离当作l，这样公式里的CL就是全机升力系数
这个很有意思，在初期设计飞机的时候你很难知道特定状态下翼身升力系数，尤其还不知道平尾尺寸和平尾升力系数的时候
但是图中这个公式可以直接用全机升力系数来算就简单多了，知道设计的飞行条件算全机升力系数太简单了

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公式3的物理解释：
全机绕cg俯仰力矩=零升俯仰力矩+重心距离翼身气动中心的距离*升力系数造成的俯仰力矩+机尾升力*力臂造成的俯仰力矩


公式3 拿dCl微分，得到dCM/dCL，即俯仰力矩系数随着升力系数（实际上就是迎角，因为CL = a*α）变化的变化量
随着升力系数变高，低头力矩（即负的CM）变高为静稳定性
所以我们定义如下：

静稳余度：kn = -dCM/dCL
hn即全机中立点，即静稳余度为0的点

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从hn的公式中就可以很容易看出，全机中立点等于翼身（WPN）气动中心的位置+平尾对稳定性的贡献
尾容系数即公式2，两翼面面积比乘以距离和弦长只比，基本上就是尾翼相对主翼有多大和杠杆有多大
a1/a是升力线斜率的比，即同样增加一定的迎角，两者升力系数增加的比例，dε/dα则是主翼对尾翼下洗造成的修正量

公式4是平尾升力系数的公式，包含了下洗影响，平尾，升降舵和配平片

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15楼聊了一下简单的飞控以及松杆稳定性，不能保证全部正确

简单来说，比如你可以用一个微分闭环控制回路来控制一个这样系统
通过探测迎角变化，来反馈控制平尾或者升降舵偏角
速率陀螺可以给你每一个姿态角扰动（约等于迎角扰动dCL），都有一个dCLt来补偿
dCLt*Vbar给你的就是俯仰力矩变量，实际上就是人工改变了dCm/dCL的值，即静稳系数
航模就可以这么玩静不稳，但是这个系统不能定姿态或者迎角，系统还是会发散的
想要定姿态就需要锁尾陀螺，即带积分的PID回路，这样把姿态角变化率积分后就得到了姿态角
系统就可以试图将飞机保持在一个姿态，虽然并不是真正的保持迎角
但实际上保持姿态要比保持迎角方便和有用

当然有重量分布/惯性截矩以及俯仰速率带来的阻力问题统统加进来之后
这就变成了一个复杂的系统控制问题，而只不是气动问题了
要设计个好的飞控就需要所有的常数和导数，复杂度就不是我这种半吊子能玩得了的了
一个玩系统控制和自动化的工程师解决起来会更顺手

飞机的松杆稳定性就是让升降舵随气流自由偏转，实际上升降舵自由随流偏转会造成全机的中立点变化的
一般来说常规布局的自由偏转的升降舵会造成hn靠前，即中立点前移，即降低稳定性
所以配平片出现了，他的功能除了卸除杆力之外，配平片随流飘动会给升降舵铰链力矩修正，从而提高松杆稳定性
所以一个良好的有配平片的系统松杆后静稳定性会提升，但是没有配平片松杆静稳定性会下降
当然通过配重和弹簧都可以调节这些，所以不绝对，有电传飞控后就更不一样了

比较有意思的是鸭式布局，鸭式布局的升降舵（假设有固定前翼+升降舵）自由随流偏转貌似会增加静稳定性，不过具体我也没推导过